求函数Z=X2+Y2-XY+X+Y在区域X≤0,Y≤0,X+Y≥-3上的最值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 20:35:49
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求函数Z=X2+Y2-XY+X+Y在区域X≤0,Y≤0,X+Y≥-3上的最值
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求函数Z=X2+Y2-XY+X+Y在区域X≤0,Y≤0,X+Y≥-3上的最值
①（不等式法）
Z=(x+y)²+（x+y)-3xy≥(x+y)²+（x+y)-3[(x+y)/2]²=1/4(x+y)²+xy=[1/2(x+y)+1]²-1≥-1
当且仅当x=y,1/2(x+y)+1=0
所以x=y=-1
此时Z=-1
②（导数法）
Z=x²+y²-xy+x+y
Z'(x)=2x-y+1
Z'(y)=2y-x+1
两式都等于0时,Z取最小值
此时x=y=-1
Z=1+1-1-1-1=-1

Z=X2+Y2-XY+X+Y=(X+Y)^2-3XY+(X+Y)
因为X≤0,Y≤0，3XY>=0
所以Z>=(X+Y)^2+(X+Y)=(X+Y)*(X+Y+1)
又因为X+Y≥-3
所以Z>=-3*(1-3)=6
故：最小值为6

x^2+y^2-xy
=(x+y)^2-3xy
又xy<=(x+y)^2/4 在x=y时取等号
故Z=(x+y)^2+x+y-3xy>=(x+y)^2+x+y-3(x+y)^2/4
=(x+y)^2/4+(x+y)
令t=x+y -3=则Z=t^2/4+t
=1/4(t^2+4t)

全部展开

x^2+y^2-xy
=(x+y)^2-3xy
又xy<=(x+y)^2/4 在x=y时取等号
故Z=(x+y)^2+x+y-3xy>=(x+y)^2+x+y-3(x+y)^2/4
=(x+y)^2/4+(x+y)
令t=x+y -3=则Z=t^2/4+t
=1/4(t^2+4t)
=1/4(t+2)^2-1
显然，当t=-2时 既x+y=-2时
Z取最小值-1
再综合x=y时xy<=(x+y)^2/4 取等号
故x=y=-1时
Z取得最小值-1

收起

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