(1)已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值(2)若不等式-sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,求实数t的取值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 02:24:09
(1)已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值(2)若不等式-sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,求实数

(1)已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值(2)若不等式-sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,求实数t的取值
(1)已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值(2)若不等式-sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,求实数t的取值

(1)已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值(2)若不等式-sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,求实数t的取值
f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x
=cos^2x-sin^2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
f(α/2)=cosα+sinα=3/4
(cosα+sinα)²=(3/4)²
1+sin2α=9/16
sin2α=9/16-1=-7/16
sin2x+tcos2x
=√(1+t²)sin(2x+φ)
因为x∈(π/12,π/6]
所以2x∈(π/6,π/3]
要使sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立
必须使sin(2x+φ)在区间(π/12,π/6]上恒成立
即需要 π/6+φ≥0且π/3+φ≤π
即 -π/6≤φ≤2π/3
又cosφ=1/√(1+t²),且cosφ在[-π/6,2π/3]内的值域是[√3/2,1]
所以有√3/2≤1/√(1+t²)≤1
解得 0≤t≤√3/3 或者 -√3/3≤t≤0