三角形ABC,三边长a,b,c成等比数列,三个角余弦值成等差是什么三角形,要过程(等边三角形）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 11:09:00
三角形ABC,三边长a,b,c成等比数列,三个角余弦值成等差是什么三角形,要过程(等边三角形）
三角形ABC,三边长a,b,c成等比数列,三个角余弦值成等差
是什么三角形,要过程(等边三角形）
三角形ABC,三边长a,b,c成等比数列,三个角余弦值成等差是什么三角形,要过程(等边三角形）
余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB=ac
a^2+c^2=ac(2cosB+1)
由a^2+c^2>=2ac
ac(2cosB+1)>=2ac
cosB>=1/2
[2倍角公式]
1-2(sinB/2)^2>=1/2又sinB/2为正值
所以sinB/2<=1/2①
另一方面
2cosB=cosA+cosC
[和差化积]
2cosB=2cos[(A-C)/2]cos[(A+C)/2]
cosB=cos[(A-C)/2]cos[(π-B)/2]
cosB=cos[(A-C)/2]sin(B/2)<=sinB/2
cosB<=sinB/2
[2倍角公式]
1-2(sinB/2)^2<=sin(B/2)
2(sinB/2)^2+sin(B/2)-1>=0
sin(B/2)<=-1 或 sin(B/2)>=1/2
因为sin(B/2)为正值
所以sin(B/2)>=1/2②
由得①②得sin(B/2)=1/2 B/2=π/6 B=π/3
取等号条件①为a=c
取等号条件②为cos[(A-C)/2]=1 (A-C)/2=0 A=C
所以A=C=π/3
所以此三角形是等边三角形
a/b=b/c cosA+cosC=2cosB
三边长a,b,c成等比数列,有a/b=b/c
三角形ABC中，根据正弦定理有a/b=sinA/sinB,b/c=sinB/sinC
所以sinA/sinB=sinB/sinC
sinAsinC=sin²B
三个角余弦值成等差数列，则中间的一个角为60º。而三边长a,b,c成等比数列，即有中间的一个角为B，所以B=60º。
所以s...
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三边长a,b,c成等比数列,有a/b=b/c
三角形ABC中，根据正弦定理有a/b=sinA/sinB,b/c=sinB/sinC
所以sinA/sinB=sinB/sinC
sinAsinC=sin²B
三个角余弦值成等差数列，则中间的一个角为60º。而三边长a,b,c成等比数列，即有中间的一个角为B，所以B=60º。
所以sinAsinC=[cos(A-C)-cos(A+C)]/2=[cos(A-C)-cos120º]/2=[cos(A-C)+1/2]/2
因为sinAsinC=sin²B=sin²60º=3/4
所以cos(A-C)=3/2-1/2=1
因为cos0º=1
所以A-C=0
所以A=C=60º
得三角形ABC是等边三角形
收起
等比数列就是指相同但不确定具体数字，所以到这里就不用证了，直接全等了。