lim x→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:35:52
limx→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4limx→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4limx→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4lim(x→0)(∫[0,x]l

lim x→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4
lim x→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4

lim x→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4
lim (x→0) (∫[0,x]ln(1+t)dt)^2/x^4
=lim(x→0) 2ln(1+x)∫[0,x]ln(1+t)dt/(4x^3)
=lim(x→0) 2x∫[0,x]ln(1+t)dt/(4x^3)
=lim(x→0) ∫[0,x]ln(1+t)dt/(2x^2) (0/0)
=lim(x→0) ln(1+x)/(4x)
=1/4

分子分母同时趋近于0 洛必达法则。
分子分母同时求导
即 IN(1+X)/4X=1/4

lim(x→0)(∫(0->x) ln(1+t)dt)^2 /x^4 (0/0)
=lim(x→0)2ln(1+x) ∫(0->x) ln(1+t) dt /(4x^3) (0/0)
=lim(x→0)2[( ln(1+x))^2+ (1/(1+x)) ∫(0->x) ln(1+t) dt ] /(12x^2) (0/0)

全部展开

lim(x→0)(∫(0->x) ln(1+t)dt)^2 /x^4 (0/0)
=lim(x→0)2ln(1+x) ∫(0->x) ln(1+t) dt /(4x^3) (0/0)
=lim(x→0)2[( ln(1+x))^2+ (1/(1+x)) ∫(0->x) ln(1+t) dt ] /(12x^2) (0/0)
=lim(x→0)2[( 3ln(1+x))/(1+x) - (1/(1+x)^2) ∫(0->x) ln(1+t) dt ] /(24x) (0/0)
=lim(x→0)2[(3(1/(1+x)^2 - ln(1+x)/(1+x)^2) - ln(1+x)/(1+x)^2)+ 2/(1+x)^3 ∫(0->x)ln(1+t) dt ] / 24
= 6/24
=1/4

收起