正方形ABCD中,点F在DC上,E在BC上,∠FAE=45°.求证:EF=DF+BE.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 18:24:16
正方形ABCD中,点F在DC上,E在BC上,∠FAE=45°.求证:EF=DF+BE.
正方形ABCD中,点F在DC上,E在BC上,∠FAE=45°.求证:EF=DF+BE.
正方形ABCD中,点F在DC上,E在BC上,∠FAE=45°.求证:EF=DF+BE.
∵ABCD是正方形
∴AB=AD
∠B=∠ADC=90°
即Rt△ABE绕A旋转到AB和AD重合,得Rt△ADM
∴∠B=∠ADM=∠ADC即M、DF在同一条直线上,
AE=AM,∠BAE=∠DAM,BE-DM
∵∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°
∴∠MAF=∠DAM+∠DAF45°
∴∠MAF=∠EAF
∵AE=AM,AF=AF
∴△AMF≌△AEF(SAS)
∴EF=FM
∵MF=DM+DF=BE+DF
∴EF=BE+DF
证明:延长CD,使DG=BE,连接AG
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD
角ABE=角ADF=角BAD=角BAF+角FAE+角DAE=90度
因为角ADF+角ADG=180度
所以角ADG=90度
所以角ADG=角ABE=90度
所以三角形ADG和三角形ABE全等(SAS)
所以AG=AB
角DAG=角BAE
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证明:延长CD,使DG=BE,连接AG
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD
角ABE=角ADF=角BAD=角BAF+角FAE+角DAE=90度
因为角ADF+角ADG=180度
所以角ADG=90度
所以角ADG=角ABE=90度
所以三角形ADG和三角形ABE全等(SAS)
所以AG=AB
角DAG=角BAE
因为角FAE=45度
所以角DAG+角DAF=角GAF=45度
所以角GAF=角FAE=45度
因为AF=AF
所以三角形GAF和三角形FAE全等(SAS)
所以GF=EF
因为GF=DG+DF
所以EF=DF+BE
收起
提示:此题用旋转构造全等解决
延长FB至G,使BG=DF
有:AD=AB,DF=BG,角D=角ABG
则三角形ABG全等于三角形ADF
则AF=AG,角DAF=角BAG
有:AF=AG,AE=AE,角FAE=角DAF+角EAB=角BAG+角EAG=角EAG
则:三角形EAF全等于三...
全部展开
提示:此题用旋转构造全等解决
延长FB至G,使BG=DF
有:AD=AB,DF=BG,角D=角ABG
则三角形ABG全等于三角形ADF
则AF=AG,角DAF=角BAG
有:AF=AG,AE=AE,角FAE=角DAF+角EAB=角BAG+角EAG=角EAG
则:三角形EAF全等于三角形EAG
则EF=EG=BE+DF
的证
收起
证明
延长EB至G,使BG=DF,连接AG
∵AD=AB,BG=DF,∠ADF=∠ABG
∴△ADF全等于△ABG
∴AF=AG,∠BAE=∠DAF
∵∠DAF﹢∠FAB=90
∴∠FAB﹢∠BAG=90
∵∠FAE=45
∴∠EAG=45
∴△AFE全等于△AEG
∴FE=EG
∴BF﹢DE=EF