为什么sinC×cosA + sinAcosC= sin(A+C)?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 00:48:39
为什么sinC×cosA + sinAcosC= sin(A+C)?
为什么sinC×cosA + sinAcosC= sin(A+C)?
为什么sinC×cosA + sinAcosC= sin(A+C)?
这是两角和的正弦公式
两角和的正弦与余弦公式:
(1) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(2) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中,
根据两点间的距离公式推导:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
再用诱导公式证明: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
如图所示:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α.
则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)].
∵ OA=OB=OC=OD=1
∴ CD=AB.
∵ CD2=[cos(α+β)-1] 2+[ sin(α+β)-0] 2;
=cos2(α+β)- 2cos(α+β)+1 + sin2(α+β);
=2-2 cos(α+β).
AB2=(cosα-cosβ)2+ (sinα+sinβ)2;
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β;
=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ 2-2 cos(α+β)=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
∴ sin(α+β)= cos(90°-α-β)
=cos[(90°-α)+(-β)]
=cos(90°-α)cos(-β)- sin(90°-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ