在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 04:55:04
在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
不放设△ABC中,∠A是钝角,H是垂心,
容易知道H在△ABC外,（详见附图）,
连接HA,并延长交BC于D,连接HB,交CA延长线于F,连接HC,交BA延长线于E,则D、E、F都是三边的垂足
tanB=CE/BE,tanC=BE/CE,
∴tanB/(-tanA)
=tanB/tan∠CAE
=(CE/BE)/(CE/AE)
=AE/BE
同理,
tanC/(-tanA)
=tanB/tan∠BAF
=(BF/CF)/(BF/AF)
=AF/CF
过A作AM‖HC,交HB于M,过A作AN‖HB,交HC于N,则
四边形AMHN是平行四边形
∴向量HA=向量HM+向量HN
∴向量HB*tanB/(-tanA)+向量HC*tanC/(-tanA)
=向量HB*(AE/BE)+向量HC*(AF/CF)
=向量HB*(MH/BH)+向量HC*(NH/CH)
=向量HM+向量HN
=向量HA
∴向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量HA*(-tanA)
∴向量HA*tanA+向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量0
得证
祝愉快!
为方便理解,请参看附图：