1.求级数∑nx^(n-1)的积函数?(∑上面是∞,下面是n=1.)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 22:20:32
1.求级数∑nx^(n-1)的积函数?(∑上面是∞,下面是n=1.)1.求级数∑nx^(n-1)的积函数?(∑上面是∞,下面是n=1.)1.求级数∑nx^(n-1)的积函数?(∑上面是∞,下面是n=1
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首先,收敛半径r=1,x=±1时级数发散,所以收敛域是(-1,1)
其次,设积函数是s(x),则
s(x)=∑nx^(n-1)=∑[x^n]'=[∑x^n]'=[1/(1-x)]'=1/(1-x)^2
其中[∑x^n]'中的级数可以从n=0开始,因为第一项是1,求导后是0
(x^n)'=n*[x^(n-1)]
=>nx^(n-1)的积函数x^n
=>∑nx^(n-1)的积函数∑x^n,∑上面是∞,下面是n=1.
because ∑x^n(∑上面是∞,下面是n=0) =1/(1-x)
so ∑x^n(∑上面是∞,下面是n=1)
= ∑x^n(∑上面是∞,下面是n=0) -1
=1/(1-x)-1
=x/(1-x)
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