已知∶y的导函数为y'=sinarccosx,求y的解析式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:49:37
已知∶y的导函数为y''=sinarccosx,求y的解析式已知∶y的导函数为y''=sinarccosx,求y的解析式已知∶y的导函数为y''=sinarccosx,求y的解析式做个RT三角形z=arcc

已知∶y的导函数为y'=sinarccosx,求y的解析式
已知∶y的导函数为y'=sinarccosx,求y的解析式

已知∶y的导函数为y'=sinarccosx,求y的解析式
做个RT三角形
z=arccosx
x=cosz
cosz=x/1,∴对边=√(1-x²)
sin(arccosx)=sinz=√(1-x²)/1=√(1-x²)
y'=√(1-x²)
y=∫√(1-x²) dx
做代换,令x=sinβ,dx=cosβdβ
√(1-x²)=cosβ
原式=∫cos²β dβ
=(1/2)∫dβ+(1/2)∫cos2βdβ
=β/2+(1/2)(1/2)∫cos2β d(2β)
=β/2+(1/4)sin2β+C
=(1/2)arcsinx+(1/2)sinβcosβ+C
=(1/2)arcsinx+(1/2)(x)[√(1-x²)]+C
=(1/2)[arcsinx+x√(1-x²)]+C
∴y的解析式:y=(1/2)[arcsinx+x√(1-x²)]+C,C为任意常数

y'=sinarccosx arccosx=t arccosx的定义域为[-1,1],值域在[0,π),即t∈[0,π), 所以y'=sint>0 x=cost y'=sinarccosx =sint=√(1-x²) y= √(1-x²)dx 的积分,这个是有公式的,结果是,
y=1/2 *arcsinx +1/2* x * √(1-x²) +C C是常数。

用matlab得到解析式为:
y=1/2*x*(1-x^2)^(1/2)+1/2*asin(x)+C
楼下的答案是正确的。