数列bn满足b1=1,b(n+1)=2bn+1,若数列an满足a1=1,an=bn[1/b1+1/b2+…+1/b(n-1)],n≥2且n为正整数证明(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1);证明(1+1/a1)(1+1/a2)…(1+1/an)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 02:26:55
数列bn满足b1=1,b(n+1)=2bn+1,若数列an满足a1=1,an=bn[1/b1+1/b2+…+1/b(n-1)],n≥2且n为正整数证明(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1);证明(1+1/a1)(1+1/a2)…(1+1/an)
数列bn满足b1=1,b(n+1)=2bn+1,若数列an满足a1=1,an=bn[1/b1+1/b2+…+1/b(n-1)],n≥2且n为正整数
证明(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1);证明(1+1/a1)(1+1/a2)…(1+1/an)
数列bn满足b1=1,b(n+1)=2bn+1,若数列an满足a1=1,an=bn[1/b1+1/b2+…+1/b(n-1)],n≥2且n为正整数证明(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1);证明(1+1/a1)(1+1/a2)…(1+1/an)
b1=1,b=2bn+1,
∴b+1=2(bn+1),
∴bn+1=(b1+1)*2^(n-1)=2^n,
∴bn=2^n-1.
a=b(1/b1+1/b2+……+1/bn),
∴a/b=1/b1+1/b2+……+1/bn=an/bn+1/bn=(an+1)/bn,
∴（an+1)/a=bn/b.
n>=4时2^n>=n^,
1/bn
b(n+1)=2bn+1
b(n+1)+1=2(bn+1)
所以{bn+1}是等比数列，公比2
b1+1=2，即bn+1=2^n
bn=2^n-1
(1)an+1=bn(1/b1+1/b2+...+1/b(n-1)+1/bn)
a(n+1)=b(n+1)(1/b1+1/b2+...+1/bn)
所以(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1...
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b(n+1)=2bn+1
b(n+1)+1=2(bn+1)
所以{bn+1}是等比数列，公比2
b1+1=2，即bn+1=2^n
bn=2^n-1
(1)an+1=bn(1/b1+1/b2+...+1/b(n-1)+1/bn)
a(n+1)=b(n+1)(1/b1+1/b2+...+1/bn)
所以(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1)
(2)(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1)<(bn+1)/(b(n+1)+1)=2^n/2^(n+1)=1/2
即a(n+1)>2(an+1)
即a(n+1)+2>2(an+2)
所以当n>1时，an+2>3*2^(n-1)
1+1/an<(3*2^(n-1)-1)/(3*2^(n-1)-2)
设cn=3*2^(n-1)-1
即1+1/an
n=1时，1+1/a1=2也小于3
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