已知函数f(x)=(1/3)*x^3-x,数列｛an｝满足条件：a1≥1,a(n+1)≥f'(an+1)（1）用数学归纳法证明：an≥2^n-1（n∈N*）；（2）试比较1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)与1的大小,并说明理由.主要是第一问啊.第一
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 19:28:24
已知函数f(x)=(1/3)*x^3-x,数列｛an｝满足条件：a1≥1,a(n+1)≥f'(an+1)（1）用数学归纳法证明：an≥2^n-1（n∈N*）；（2）试比较1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)与1的大小,并说明理由.主要是第一问啊.第一
已知函数f(x)=(1/3)*x^3-x,数列｛an｝满足条件：a1≥1,a(n+1)≥f'(an+1)
（1）用数学归纳法证明：an≥2^n-1（n∈N*）；
（2）试比较1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)与1的大小,并说明理由.
主要是第一问啊.第一问.
已知函数f(x)=(1/3)*x^3-x,数列｛an｝满足条件：a1≥1,a(n+1)≥f'(an+1)（1）用数学归纳法证明：an≥2^n-1（n∈N*）；（2）试比较1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)与1的大小,并说明理由.主要是第一问啊.第一
(1):n=1时,左边=1 右边 =1 满足
假设 n=k 时 an≥2^n-1
则 n=k+1时,a（n+1）≥f'(an+1)=(an+1)²-1=an²+2an
而x²+2x 在x≥-1 时候递增
则an²+2an≥（2^n-1）²+2（2^n-1)=(2^2k)-1≥(2^k+1 -1)
从而得证
（2）为等比求和易得小于1
(1)
1)当n=1时,a1>=1=2^n-1
2)假设n=k时成立
即ak>=2^k-1
a(k+1)>=f'(ak+1)>=f'(2^k)_________since f'(x) 是增函数(f''(x)>0when x>0)
有a(k+1)>=(2^k)^2-1>=2^(k+1)-1
综上得证
（2）
<1 由（1）可得
主要就是n推n+1有点点难吧
a(n+1)≥(an+1)²-1=an(an+2)
由an≥2^n-1 a（n+1）≥（2^n-1）（2^n+1）=2^(n+1)-1
则k=n n=1，2，3。。。成立
同意二楼的解答