问道函数题（1）若函数f(x)=sinx/(x+2)(x+a)是奇函数,则实数a的值等于多少?（2）已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f(f(1/e^2))的值为多少?

问道函数题（1）若函数f(x)=sinx/(x+2)(x+a)是奇函数,则实数a的值等于多少?（2）已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f(f(1/e^2))的值为多少?
问道函数题
（1）若函数f(x)=sinx/(x+2)(x+a)是奇函数,则实数a的值等于多少?（2）已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f(f(1/e^2))的值为多少?

问道函数题（1）若函数f(x)=sinx/(x+2)(x+a)是奇函数,则实数a的值等于多少?（2）已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f(f(1/e^2))的值为多少?
(1)若函数f(x)=sinx/(x+2)(x+a)是奇函数,则实数a的值等于多少?
 
∵f(x)是奇函数
        ∴ -f(x)=-sinx/(x+2)(x+a)
                   =f(-x)
                   =sin-x/(-x+2)(-x+a)
                   =-sinx/(-x+2)(-x+a)      <因为sinx=sin-x>
        则  (x+2)(x+a)=(-x+2)(-x+a) 
        得a=-2                                    <因为展开得x^2+(2+a)x+2a=x^2-(2+a)+2a,即a=-2>
 
 
(2)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f(f(1/e^2))的值为多少?
 
令x＜0,则-x＞0
      f(-x)=ln-x=-f(x)
      则x＜0时,f(x)=-ln-x
      函数f(x)=   lnx     ,x>0
                  =  - ln-x   ,x<0
     则f(f(1/e^2))=f(lne^-2)
                        =f(-2)
                        =-ln2
 
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标<>的部分是方便理解用的,正式答题过程中不用写~

奇函数，f（-x）=-f（x），即f（x）+f（-x）=0恒成立
f（-x）=-sinx/(x-2)(x-a),f(x)+f(-x)=sinx[1/(x+2)(x+a)-1/(x-2)(x-a)],a=-2
2.f(f(1/e^2))=f(ln1/e^2)=f（-1/2）=-f（1/2）=-ln（1/2）=ln2

(1)
f（x）　＋　f（－x）　＝　0
由于sin x = -sin(0-x)
所以带入计算得：
(x+2)(x+a)= (-x+2)(-x+a)
所以a = -2
(2)
f(1/e^2) =ln(1/e^2) = -2
f(f(1/e^2))=f(-2) = -f(2) = -ln2

(1)因为是y=sinx奇函数，则只要满足g(x)=(x+2)(x+a)是偶函数，令g(x)-g(-x)=0恒成立，
解得a=－2, 经检验， a=－2时，f(x)是奇函数
（2）f(f(1/e^2))=f(ln1/e^2)=f(-2)=-f(2)=－ln2.

∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f...

全部展开

∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．
由
y=x+a
y=x2

得：x2-x-a=0，由△=1+4a=0得a=-
1
4
，此时，x0=x=
1
2
∈[0，1]．
综上所述，a=-
1
4
或0

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