在三角形ABC中,角BAC=45度,CE垂直AB,AD垂直BC,已知BD=6,CD=4,则AD=?

在三角形ABC中,角BAC=45度,CE垂直AB,AD垂直BC,已知BD=6,CD=4,则AD=?
在三角形ABC中,角BAC=45度,CE垂直AB,AD垂直BC,已知BD=6,CD=4,则AD=?

在三角形ABC中,角BAC=45度,CE垂直AB,AD垂直BC,已知BD=6,CD=4,则AD=?
设AD与CE交于M点,
M为三角形ABC的垂心,
连结BM并延长交AC于F点,
则BF垂直AC,
三角形BMD与三角形BCF相似,有：
MD/CF＝BM/BC（式1）.
三角形BMD与三角形ACD相似,有：
MD/DC＝BD/AD（式2）.
同时,因角BAC=45度,则有角ABF＝45度,
而三角形BME与三角形CMF相似,角MCF也为45度,则
2倍的CF平方＝MC平方＝MD平方+DC平方＝MD平方+16,
BM平方＝MD平方+BD平方＝MD平方+36.
将（式1）两端均平方得
MD平方/CF平方＝BM平方/BC平方（式3）,
将CF平方与BM平方代入（式3）,得
MD平方的平方－148MD平方+576＝0
配方,移项,得
(MD平方－74)的平方＝4900
MD平方＝144或MD平方＝4,解得MD＝12或2
将MD＝12代入（式2）得AD＝2,明显不合理,舍去.
将MD＝2代入（式2）得AD＝12.
所以答案为AD＝12

连接DE
易得△BDE∽△BAC
所以BD/AB=BE/BC
AB×BE=BD×BC
因为已知BD=6，CD=4
BE×AB=60………②
因为在△BEC中
BE²+CE²=100
且△AEC为等腰直角三角形
所以CE=AE=（AB-BE）
（AB-BE）²+BE²=100…...

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连接DE
易得△BDE∽△BAC
所以BD/AB=BE/BC
AB×BE=BD×BC
因为已知BD=6，CD=4
BE×AB=60………②
因为在△BEC中
BE²+CE²=100
且△AEC为等腰直角三角形
所以CE=AE=（AB-BE）
（AB-BE）²+BE²=100……①
联立方程
解出AB，BE
则AD=根号（AB²-36）

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设，CE=x,BE=y
则：AE=CE=x,AC=√2x
AD^2=AC^2-CD^2=2x^2-16
AB^2=AD^2+BD^2=2x^2-16+36=2x^2+20
AB*CE=AD*BC
√(2x^2+20)*x=√(2x^2-16)*10
x^2(2x^2+20)=100(2x^2-16)
x^4-90x^2+800=0
(...

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设，CE=x,BE=y
则：AE=CE=x,AC=√2x
AD^2=AC^2-CD^2=2x^2-16
AB^2=AD^2+BD^2=2x^2-16+36=2x^2+20
AB*CE=AD*BC
√(2x^2+20)*x=√(2x^2-16)*10
x^2(2x^2+20)=100(2x^2-16)
x^4-90x^2+800=0
(x^2-10)(x^2-80)=0
x1=√10
x2=√80
x^2=10时，
AD^2=2x^2-16=20-16=4
AD=2
x^2=80时，
AD^2=2x^2-16=160-16=144
AD=12
所以，AD=2,或，12

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最简单的方法是利用三角公式，不知道你学过没有？，设AD＝x，tanBAD＝6/x, tan DAC=4/x
tanBAC=tan45=1=tan(BAD+DAC)=(6/x+4/x)/(1-6/x * 4/x)= 10x/(x^2-24)
解这个方程，得到x＝12
还可以利用余弦定理和勾股定理，复杂一些：
AB^2 = x^2+36, AC^2=x^2+16

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最简单的方法是利用三角公式，不知道你学过没有？，设AD＝x，tanBAD＝6/x, tan DAC=4/x
tanBAC=tan45=1=tan(BAD+DAC)=(6/x+4/x)/(1-6/x * 4/x)= 10x/(x^2-24)
解这个方程，得到x＝12
还可以利用余弦定理和勾股定理，复杂一些：
AB^2 = x^2+36, AC^2=x^2+16
cosBAC=cos45=√2/2=(AB^2＋AC^2－BC^2）/(2AB*AC) = (2x^2+52-100)/[2√(x^2+36)(x^2+16)]
解这个方程，也可以得到结果。

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只要设,AD=m,根据勾股定理,可得,m1=12,m2=2(不合,舍去).
所以,AD=12.
过程楼主自已完成吧,不难,只是运算繁了点.

AD=12.设AE=CE=x,则由题设求得x=根号10（舍去）或x=根号80.又AD=根号（2x^2-16).故可得答案。

设AD=x则AB=（x^2+36）^1/2 AC=(x^2+16)^1/2
由角BAC=45度，CE垂直AB可知等腰直角三角形ACE 则CE=AC/2^(1/2)
由三角形的面积公式知
CE*AB=AD*BC 代入相应的表达式并平方左右得
(x^2+16)（x^2+36）/2=100x^2
展开令t=x^2 则是一个一元二次方程
这样应该可以解出来...

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设AD=x则AB=（x^2+36）^1/2 AC=(x^2+16)^1/2
由角BAC=45度，CE垂直AB可知等腰直角三角形ACE 则CE=AC/2^(1/2)
由三角形的面积公式知
CE*AB=AD*BC 代入相应的表达式并平方左右得
(x^2+16)（x^2+36）/2=100x^2
展开令t=x^2 则是一个一元二次方程
这样应该可以解出来了

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