如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.（1）试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.（2）求四边形GMHN的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:58:33
如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.（1）试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.（2）求四边形GMHN的面积
如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.
（1）试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.
（2）求四边形GMHN的面积
如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.（1）试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.（2）求四边形GMHN的面积
（1）
∵△ADC、△CEB都是等边三角形,∴AC＝DC、CE＝CB、∠ACD＝∠BCE＝60°.
显然有：∠ACE＝∠DCB＝60°＋∠DCE.
由AC＝DC、CE＝CB、∠ACE＝∠DCB,得：AE＝DB.
∵M、H、N、G依次是AB、BE、DE、AD的中点,
∴MH＝GN＝AE/2、GM＝NH＝DB/2,又AE＝DB,∴MH＝GN＝GM＝NH,
∴四边形GMHN是菱形.
（2）
容易得出：S(△DGN)＝（1/4）S(△DAE)、S(△BMH)＝（1/4）S(△BAE),
∴S(△DGN)＋S(△BMH)＝（1/4）S(△DAE)＋（1/4）S(△BAE)＝（1/4）S(四边形ABED).
同理,有：
S(△AGM)＋S(△ENH)＝（1/4）S(△ABD)＋（1/4）S(△EBD)＝（1/4）S(四边形ABED).
∴S(△DGN)＋S(△BMH)＋S(△AGM)＋S(△ENH)＝（1/2）S(四边形ABED),
∴S(四边形ABED)－S(四边形GMHN)＝（1/2）S(四边形ABED),
∴S(四边形GMHN)＝（1/2）S(四边形ABED).
过D、E分别作AB的垂线,垂足分别为P、Q.
容易得出：DP＝（√3/2）AC=2√3、EQ＝（√3/2）CB＝√3、PQ＝AB/2＝3、AP＝2、QB＝1.
∴S(四边形ABED)
＝S(△DAP)＋S(梯形DPQE)＋S(△EQB)
＝（1/2）AP×DP＋（1/2）（DP＋EQ）PQ＋（1/2）QB×EQ
＝（1/2）×2×2√3＋（1/2）×（2√3＋√3）×3＋（1/2）×1×√3
＝2√3＋（9/2）√3＋（1/2）√3
＝7√3.
∴S(四边形GMHN)＝（7/2）√3.