求y=x^(1/x)的极值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 21:21:37
求y=x^(1/x)的极值求y=x^(1/x)的极值求y=x^(1/x)的极值ln(y)=(1/x)ln(x)求导(1/y)*y''=-(1/x^2)ln(x)+(1/x)*(1/x)=(1/x^2)[

求y=x^(1/x)的极值
求y=x^(1/x)的极值

求y=x^(1/x)的极值
ln(y)=(1/x)ln(x)
求导
(1/y)*y'=-(1/x^2)ln(x)+(1/x)*(1/x)=(1/x^2)[1-ln(x)]
y'=(1/x^2)*[1-ln(x)]*x^(1/x)=0
则1-ln(x)=0
x=e
极值为e^(1/e)

y=f(x)=x^(1/x)=e^{ln[x^(1/x)]}=e^[(1/x)lnx]
令f'(x)=e^[(1/x)lnx]*[(1-lnx)/x²]=0
解得唯一驻点x=e
∴y=x^(1/x)的极值为
y=f(e)=e^(1/e)

求y=x^(1/x)的极值
定义域:x>0;
lny=(1/x)lnx,y′/y=(-1/x²)lnx+1/x²=(1/x²)(1-lnx);令y′=y(1/x²)(1-lnx)=0,得1-lnx=0,lnx=1,x=e
是极大点,极大值y(e)=e^(1/e)≈1.444667.
x→0limx^(1/x)=0;x→+∞li...

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求y=x^(1/x)的极值
定义域:x>0;
lny=(1/x)lnx,y′/y=(-1/x²)lnx+1/x²=(1/x²)(1-lnx);令y′=y(1/x²)(1-lnx)=0,得1-lnx=0,lnx=1,x=e
是极大点,极大值y(e)=e^(1/e)≈1.444667.
x→0limx^(1/x)=0;x→+∞limx^(1/x)=x→+∞lime^[(1/x)lnx]=x→+∞lime^[(lnx)/x]
=x→+∞lime^(1/x)=1.

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