f(x+2)=-f(x)当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,证明f(x)是R上的奇函数跪求大神!!!急

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 05:33:10
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x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2,
x∈[-2,0]时,
-x∈[0,2],f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x-x^2,
x+2∈[0,2],f(x)=-f(x+2)=-[2(x+2)-(x+2)^2]=-2x-4+x^2+4x+4=2x+x^2=-f(-x),
所以f(x)在[-2,2]上是奇函数.
又f(x+4)=f[(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x) 是以4为周期的周期函数.
对任意整数n,
x∈[4n,4n+2]时,-x∈[-4n-2,-4n],
x-4n∈[0,2],f(x)=f(x-4n),
-x+4n∈[-2,0],f(-x)=f(-x+4n)=-f(x-4n)=-f(x),
当x∈[4n-2,4n]时也有相同结果,
所以在R上,都有f(-x)=-f(x),即f(x)是R上奇函数.