如图,已知线段AB,P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1）,点O是AB的中点,P2是P1关于点O的对称点.见补充.求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项.不要复制粘贴的.我刚预习不太懂请详细讲解谢谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 20:41:07
如图,已知线段AB,P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1）,点O是AB的中点,P2是P1关于点O的对称点.见补充.求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项.不要复制粘贴的.我刚预习不太懂请详细讲解谢谢.
如图,已知线段AB,P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1）,点O是AB的中点,P2是P1关于点O的对称点.见补充.
求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项.不要复制粘贴的.我刚预习不太懂请详细讲解谢谢.
如图,已知线段AB,P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1）,点O是AB的中点,P2是P1关于点O的对称点.见补充.求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项.不要复制粘贴的.我刚预习不太懂请详细讲解谢谢.
黄金分割的定义：AB:AP1=AP1:BP1
由对称关系知,AP1=BP2,AP2=BP1
需要证明BP1:BP2=P1P2:BP1
左边=AP2:BP2
右边=(AP1-AP2):BP1
=AP1:BP1-AP2:BP1
=AB:AP1-1
=(AB-AP1):AP1
=BP1:AP1
=AP2:BP2
左边=右边
证明：∵O为中点，P2是P1关于O的对称点
∴OP1=OP2，AO=BO
∴AO-OP2=BO-OP1
即AP2=BP1
又∵P1是AB的黄金分割点
∴AP1^2=BP1*AB
(AP2+P1P2)^2=BP1*(AP2+P1P2+BP1)
(BP1+P1P2)^2=BP1*(2BP1+P1P2)
BP1^2+P1P2^2+2BP1*...
全部展开
证明：∵O为中点，P2是P1关于O的对称点
∴OP1=OP2，AO=BO
∴AO-OP2=BO-OP1
即AP2=BP1
又∵P1是AB的黄金分割点
∴AP1^2=BP1*AB
(AP2+P1P2)^2=BP1*(AP2+P1P2+BP1)
(BP1+P1P2)^2=BP1*(2BP1+P1P2)
BP1^2+P1P2^2+2BP1*P1P2=2BP1^2+BP1*P1P2
BP1^2=P1P2^2+BP1*P1P2
BP1^2=P1P2*(P1P2+BP1)
BP1^2=P1P2*BP2
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
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