证明不等式 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc（a b c 是不全相等的正数）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 18:43:26
证明不等式 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc（a b c 是不全相等的正数）
证明不等式 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc（a b c 是不全相等的正数）
证明不等式 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc（a b c 是不全相等的正数）
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)
=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc
=(a^2b+bc^2-2abc)+(ab^2+ac^2-2abc)+(b^c+a^2c-2abc)
=b(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-b)^2
因为(a-c)^>=0,(b-c)^2>=0,(a-b)^2>=0
又因为a b c 是不全相等的正数
所以,a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc>0
所以,a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2>6abc
所以,a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc得证
a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-6abc=a(b^2+c^2-2bc)+b(a^2+c^2-2ac)+c(a^2+b^2-2ab)=a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(a-b)^2>=0(当b-c=a-c=a-b=0时;即a=b=c取等号;不符合题意,舍去);即n>0,不等式成立.
因 b^2+c^2>=2bc
a^2+c^2>=2ac
a^2+b^2>=2ab
故 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>a*2bc+b*2ca+c*2ab
=6abc
因 abc 不全相等 故上式无等号
b^2+c^2≥2bc a(b^2+c^2)≥2abc
c^2+a^2≥2ac b(c^2+a^2)≥2abc
a^2+b^2≥2ab c(a^2+b^2)≥2abc
又因为a b c 是不全相等的正数
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc