在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:22:58
在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
证明:在AB的延长线上取点E,使BE=BC=2,连接CE,取AB的中点D,连接CD
∵BE=BC=2
∴∠E=∠ECB
∴∠ABC=∠E+∠ECB=2∠E
∵D为AB的中点,AB=4
∴BD=AD=AB/2=2
∴∠BCD=∠BDC,AD=BE
∴∠ECD=∠ECB+∠BCD=∠E+∠BDC
∵∠E+∠ECD+∠BDC=180
∴2(∠E+∠BDC)=180
∴∠E+∠BDC=90
∴∠ECB+∠BCD=90
∵∠ABC=2∠A
∴∠A=∠E
∴AC=EC
∴△ACD≌△ECB (SAS)
∴∠ACD=∠ECB
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ECB+∠BCD=90
∴直角△ABC
因为∠A+∠B+∠C=180°,∠B=2∠A,BC=2,AB=4
所以,AB/sin∠C=BC/sin∠A,4/sin(180°-∠A-∠B)=2/sin∠A,
4/sin(∠A+∠B)=2/sin∠A,4sin∠A=2sin(∠A+∠B),
2sin∠A=sin(∠A+∠B)=sin(3∠A)=3sin∠A-4(sin∠A)^3,
2=3-4(sin∠A)^2,<...
全部展开
因为∠A+∠B+∠C=180°,∠B=2∠A,BC=2,AB=4
所以,AB/sin∠C=BC/sin∠A,4/sin(180°-∠A-∠B)=2/sin∠A,
4/sin(∠A+∠B)=2/sin∠A,4sin∠A=2sin(∠A+∠B),
2sin∠A=sin(∠A+∠B)=sin(3∠A)=3sin∠A-4(sin∠A)^3,
2=3-4(sin∠A)^2,
4(sin∠A)^2=1,
(sin∠A)^2=1/4,
sin∠A=1/2,
∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
所以,三角形ABC为直角三角形
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