用数学归纳法证明(4^2n)+1+3^(n+2)能被13整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:14:26
用数学归纳法证明(4^2n)+1+3^(n+2)能被13整除
用数学归纳法证明(4^2n)+1+3^(n+2)能被13整除
用数学归纳法证明(4^2n)+1+3^(n+2)能被13整除
题目出错了!我用excel验证了,题目应当如下.
题：用数学归纳法证明f(n)=4^(2n+1)+3^(n+2)能被13整除
证：
n=1时:f(n)=64+27=91==0 mod 13
假设f(n)==4*16^n+9*3^n==0 mod 13.
f(n+1)=4*16*16^n+9*3*3^n==f(n)+60*16^n+18*3^n==0-5*16^n+5*3^n
==-5(16^n-3^n)==-5(3^n-3^n)==0
得证.
事实上,由上面的过程可以看出,不用归纳法也能证的：
4^(2n+1)+3^(n+2) mod 13
==4*16^n+9*3^n
==4*3^n+9^3^n
==0
当n=1时
4^(2n+1)+3^(n+2)=4^3+3^3=91=7×13，能被13整除
当n=k（k≥1）时，能被13整除
4^(2k+1)+3^(k+2)=13×m （m为整数）
当n=k+1时
4^(2n+1)+3^(n+2)=4^(2k+3)+3^(k+3)=16×4^(2k+1)+3×3^(k+2)
=13×4^(2k+1)+3×4^(2...
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当n=1时
4^(2n+1)+3^(n+2)=4^3+3^3=91=7×13，能被13整除
当n=k（k≥1）时，能被13整除
4^(2k+1)+3^(k+2)=13×m （m为整数）
当n=k+1时
4^(2n+1)+3^(n+2)=4^(2k+3)+3^(k+3)=16×4^(2k+1)+3×3^(k+2)
=13×4^(2k+1)+3×4^(2k+1)+3×3^(k+2)
=13×4^(2k+1)+3×(4^(2k+1)+3^(k+2))=13*×4^(2k+1)+3×13×m
∴该命题成立
亲：铱米安。
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