(1)三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG(2)已知:在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 15:41:36
(1)三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG(2)已知:在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形
(1)三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG
(2)已知:在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形
(1)三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG(2)已知:在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形
延长EP至D,作CD⊥ED
因为PF⊥AC ,CG⊥AB,又CD⊥ED
∴四边形CDEG是矩形
∴CG=ED
另外,∠1+∠B=90°,∠2+∠C=90°
∠B=∠C
∴ ∠1=∠2
又 ∠1=∠3(对顶角)
∴ ∠2=∠3,又PC公共
∴ Rt△PCD全等Rt△PCE
∴ PE=PD
∴ PE+PF=PE+PD=CG
∵AB=CD,∠A+∠D=180°
∴AB//CD(内角互补)
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵AB//CD
∵ △AOB是等边三角形,
∴△COD对应三角=60°
∴△COD也是等边三角形
∴ OD=OC=CD=AO=BO=AB(对角线互相平分)
∴△OAD为顶角为120°、底角(∠1=∠3)为30°的等腰三角形
∴∠A= ∠AOB+ ∠1=60°+30°=90°(有一角为直角)
∴ 四边形ABCD是矩形(对角线互相平分、有一角为直角)
(2)
因为:AB=CD,∠A+∠D=180°
所以:四边形ABCD为平行四边形
又因为:AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形
所以:AO=BO=DO=CO
所以:AO+CO=BO+DO
即:AC=BD
所以:四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形......)
(1)过点P作PM∥AB交CG于N,交AC于M。
PE⊥AB,CG⊥AB,PM∥AB得:PE=GN。
AB=AC,PM∥AB得:∠C=∠B=∠CPM
∠PNC=∠PFC=90°,所以△PNC≌△CFP
所以PF=CN,即PE+PF=GN+NC=GC
(2)∠A+∠D=180°得:AB∥CD,且AB=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形。
由...
全部展开
(1)过点P作PM∥AB交CG于N,交AC于M。
PE⊥AB,CG⊥AB,PM∥AB得:PE=GN。
AB=AC,PM∥AB得:∠C=∠B=∠CPM
∠PNC=∠PFC=90°,所以△PNC≌△CFP
所以PF=CN,即PE+PF=GN+NC=GC
(2)∠A+∠D=180°得:AB∥CD,且AB=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形。
由于△AOB是等边三角形,AO=DO,∠ADB=∠AOD=60°又AO=CO,
∠BDC=30°,所以∠D=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°
所以四边形ABCD是矩形
收起
证明:1
SΔABC=AB*PE/2+AC*PF/2=AB*(PE+PF)/2=AB*CG/2
所以 PE+PF=CG
2
(2)
∵AB=CD,∠A+∠D=180°
∴:四边形ABCD为平行四边形
又∵AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形
∴AO=BO=DO=CO
∴AO+CO=BO+DO
即AC=BD
∴:四边形ABCD是矩形