已知f(x)的一个原函数为xsinx,求∫xf('x)dx是求∫xf'(x)dx 括号错了!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/27 15:29:08
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已知f(x)的一个原函数为xsinx,求∫xf('x)dx是求∫xf'(x)dx 括号错了!
已知f(x)的一个原函数为xsinx,求∫xf('x)dx
是求∫xf'(x)dx
括号错了!

已知f(x)的一个原函数为xsinx,求∫xf('x)dx是求∫xf'(x)dx 括号错了!
∵ ∫f(x)dx = xsinx + c [Given,已知]
∴ f(x) = sinx + xcosx [Derivative,求导]
∴ ∫xf'(x)dx = ∫xdf(x) [Completing differentiation,凑微分]
= xf(x) - ∫f(x)dx + c [Integration by parts,分部积分]
= x(sinx + xcosx) - xsinx + c [Substitution,代入]
= x²cosx + c [Simplification,化简]

用分步积分方法
∫xf'(x)dx =xf(x)-∫(x)'f(x)dx
=xf(x)-∫f(x)dx
=xf(x)-xsinx+c
再对xsinx求导,算出f(x)=xcosx+sinx
所以答案是x^2cosx+c