已知三角形的三边张成公差为2的等差数列且他的最大正弦值为√ 3/2,则这个三角形的面积是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 20:57:19
已知三角形的三边张成公差为2的等差数列且他的最大正弦值为√ 3/2,则这个三角形的面积是多少?
已知三角形的三边张成公差为2的等差数列且他的最大正弦值为√ 3/2,则这个三角形的面积是多少?
已知三角形的三边张成公差为2的等差数列且他的最大正弦值为√ 3/2,则这个三角形的面积是多少?
不妨设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,设公差为d=2,三个角分别为、A、B、C
则a-b=b-c=d
a=c+4,b=c+2
sinA=√3/2
∴A=60°或120°
若A=60°,因为三条边不相等,则必有角大于A,矛盾,故A=120°
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=(c-6)/(2c)
=-1/2
∴c=3
∴b=c+2=5
∴S△ABC=(1/2)*bc*sinA=15√3/4
正弦值为√ 3/2，对应的角为60度或120度
并且我们能判断只能是120度
设三边为x-2,x,x+2
则：(x+2)^2=(x-2)^2+x^2-2(x-2)xcos120
x^2+4x+4=x^2-4x+4+x^2+x^2-2x
10x=2x^2
x=5
所以三边为：3，5，7
面积=(1/2)3*5*sin120
=(15/4)(根号3)
显然最大角为120°（最大角是60°是可能的），假设这个角是A,且三角形三条边分别为a，a-d，a-2d
由余弦定理：
a^2=（a-d）^2+(a-2d)^2-2(a-d)(a-2d)CosA
化简 2a^2-9ad+7d^2=0
解得 d=2a/7 或 d=a （不可能是正三角形，舍去）
所以 S=（a-d）（a-2d）SinA/2=15（根号3）*d^...
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显然最大角为120°（最大角是60°是可能的），假设这个角是A,且三角形三条边分别为a，a-d，a-2d
由余弦定理：
a^2=（a-d）^2+(a-2d)^2-2(a-d)(a-2d)CosA
化简 2a^2-9ad+7d^2=0
解得 d=2a/7 或 d=a （不可能是正三角形，舍去）
所以 S=（a-d）（a-2d）SinA/2=15（根号3）*d^2/16=15（根号3）/4 【公差为2】
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