一道有点难度的数学题,谁会?已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 14:30:00
一道有点难度的数学题,谁会?已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值．
一道有点难度的数学题,谁会?
已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值．
一道有点难度的数学题,谁会?已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值．
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谢谢朋友提醒,刚才的算法确实有问题.
换种解法用,三角函数
从P,A,R做垂线到BC为O1,O2,O3
设角BPO1=α,CRO3=β
BQ=a,QC=b,QO2=m
那么a=2*sinα b=2*sinβ
设 AO2=h
角BAO2=角BPO1=α
角CAO2=角CRO3=β
h=(a+m)/tanα=(b-m)/tanβ
m=(b*tanα-a*tanβ)/(tanα+tanβ)
h=(a+b)/(tanα+tanβ)
面积等于 (a+b)(a+b)/2*(tanα+tanβ)
=2*(sinα+sinβ)^2/(tanα+tanβ)
=2*((sinα+sinβ)^2*cosα*cosβ/(sinα*cosβ+cosα*sinβ)
=2*((sinα+sinβ)^2*cosα*cosβ/sin(α+β)
补充：
BP=PQ 所以 △BPQ △ PQR △QRC都是等腰三角形
PB 和 PQ QR RC又等值,那么就是相似三角形（好多年了,有个名词忘记了,就是完全一样的三角形）
这样可以得出ABC也是等腰三角形,并且Q是BC的中点.并且AQ垂直BC
那么△ABC面积是 AQ*BC/2=AQ*BQ
设BQ=a
做BQ的中点O
BQ=a/2
PO垂直BQ,所以PO平行于AQ
PO/AQ = BO/BQ = 1/2
PO = (1-(a/2)的平方)开根号
△ABC面积=AQ*BQ = 2*(1-(a/2)的平方)开根号*a
化解一下为a*根号(4-a^2) 求这个的最大值
以下是高等数学,希望你不是中学生,不然,我都不知道怎么办了,如果你是中学生,那么记住,当周长一定情况下,正方形面积最大,这样就能得出a=(4-a^2)开根号,得出a=根号2,那么面积等于2.
高等数学,则求导
a*根号(4-a^2)对a求导为1/(4a^2-a^4)^2的求导（这步多想想,不难的）
然后按照求导的商法则,得出为((4a^3-8a)/(4a^2-a^4)^2))^2
分母复杂不用管,只要分子为零
就是说4a^3-8a=0 得出a^2=2
三角形中等边三角形面积最大，所以角B=角C=60度，BC=2，三角形ABC面积最大值=根号3
BP=PQ 所以 △BPQ △ PQR △QRC都是等腰三角形
PB 和 PQ QR RC又等值，那么就是相似三角形
这边错了，不一定哦