已知a,b,x,y都是实数,且x>0,求参数a,b的一切取值,使方程组x2+y2=a|xy-1||xy+1|=b有唯一的解·
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 12:11:05
已知a,b,x,y都是实数,且x>0,求参数a,b的一切取值,使方程组x2+y2=a|xy-1||xy+1|=b有唯一的解·
已知a,b,x,y都是实数,且x>0,求参数a,b的一切取值,使方程组x2+y2=a|xy-1||xy+1|=b有唯一的解·
已知a,b,x,y都是实数,且x>0,求参数a,b的一切取值,使方程组x2+y2=a|xy-1||xy+1|=b有唯一的解·
为了50分,我干了!如果我是第一个答对的,你一定要加分给我.不许给别人!【可以按“时间排序”来确认这一点!】
观察式子
我们可以发现如下的巧妙性质：
将(x,y)(x,-y)带入,结果一模一样.一个成立另一个也铁定成立!
也就是说：
如果(x,y)(x,-y)是不同的两个点,那么它们要么都是根,要么都不是!
所以y = 0是这个唯一解的必然要求!
【以上是最关键的一步,以下是具体讨论】
将y = 0带入
x^2 = a = b
所以a = b
唯一解为（根号a,0）
下面讨论a的范围,让它的解唯一：
根据a = b
化简后的式子为
|xy^2 - 1| = 1
x^2 +y ^ 2 = b
xy^2 = 0或xy^2 = 2
其中xy^2 = 0可以得到我们的唯一解（因为x> 0）
xy^2 = 2
要它与x^2 +y ^ 2 = b无交点
画图可知：（说得好听点可以用“基本不等式”b = x^2 + y^ 2>=2xy=2根号2）
b
令y＝t，x^2+t^2=a|xt-1||xt+1|=b
令y＝-t，x^2+t^2=a|xt-1||xt+1|=b
两个方程同解，若有唯一解，t＝0，即y＝0.
此时，x^2=a|-1|=b，可知，a＝b＞0，x有唯一解
同时，还要保证：在a=b＞0的前提下，当x^2y^2＝2时，x无解，
即：x^2+2/x^2=a无解，
x^4-ax^2+2=0...
全部展开
令y＝t，x^2+t^2=a|xt-1||xt+1|=b
令y＝-t，x^2+t^2=a|xt-1||xt+1|=b
两个方程同解，若有唯一解，t＝0，即y＝0.
此时，x^2=a|-1|=b，可知，a＝b＞0，x有唯一解
同时，还要保证：在a=b＞0的前提下，当x^2y^2＝2时，x无解，
即：x^2+2/x^2=a无解，
x^4-ax^2+2=0，△＝a^2-8＜0
a＜2√2
故：0＜b＝a＜2√2
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