已知a,b,c,d为正有理数,且满足a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd.求证：a=b=c=d
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 12:30:17
已知a,b,c,d为正有理数,且满足a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd.求证：a=b=c=d
已知a,b,c,d为正有理数,且满足a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd.求证：a=b=c=d
已知a,b,c,d为正有理数,且满足a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd.求证：a=b=c=d
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0,所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
= a^4=b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2+2(a^2b^2+c^2d^2-2abcd)
= (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2
>=0
等号成立当且仅当a=b=c=d
用两次均值不等式
a^2+b^2大于等于2ab 当a=b时取到等号(由a^2-2ab+b^2=(a-b)^2大于等于0得到）
所以a的4次方+b的4次方大于等于2a^2b^2
c的4次方+d的4次方大于等于2c^2d^2
所以a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方大于等于2a^2b^2+2c^2d^2
而2a^2b^2+2c^2d^2=2((ab)^2+(cd)^2)大于等...
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a^2+b^2大于等于2ab 当a=b时取到等号(由a^2-2ab+b^2=(a-b)^2大于等于0得到）
所以a的4次方+b的4次方大于等于2a^2b^2
c的4次方+d的4次方大于等于2c^2d^2
所以a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方大于等于2a^2b^2+2c^2d^2
而2a^2b^2+2c^2d^2=2((ab)^2+(cd)^2)大于等于2*2abcd=4abcd
现在是等于，所以要取到等号，a=b,c=d,ac=bd
又因为a,b,c,d为正有理数
所以a=b=c=d
^是次方
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