如图,D是三角形ABC的内心,且CD+AD=BC,且角BAC=80度,求角ABC和角ADB的度数?【“内心”即角平分线的交点】
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 09:28:39
如图,D是三角形ABC的内心,且CD+AD=BC,且角BAC=80度,求角ABC和角ADB的度数?【“内心”即角平分线的交点】
如图,D是三角形ABC的内心,且CD+AD=BC,且角BAC=80度,求角ABC和角ADB的度数?【“内心”即角平分线的交点】
如图,D是三角形ABC的内心,且CD+AD=BC,且角BAC=80度,求角ABC和角ADB的度数?【“内心”即角平分线的交点】
做△ABC的外接圆,延长CD交圆于E,连接AE、BE,(∠B+∠C)/2=50°,∠BDE=∠DBE=50°,△BED为等腰△,BE=DE,∠ADE=(∠A+∠C)/2=40°+∠C/2=∠DAE,△AED为等腰△,AE=DE,在CB上取CF=CD,连接DF,∠CFD=(180°-∠C/2)/2,∠BFD=180°-(180°-∠C/2)/2=90°+∠C/4,∠BDC=130°,∠BDF=130°-(180°-∠C/2)/2=40°+∠C/4,AE=DE=AD/2cos(40°+∠C/2),BD=2DEcos50°=ADcos50°/cos(40°+∠C/2),CD+AD=BC,则AD=BF,在△BDF中由正弦定理得:BF/sin(40°+∠C/4)=BD/sin(90°+∠C/4),1/sin(40°+∠C/4)=cos50°/[cos(40°+∠C/2)sin(90°+∠C/4)],sin(40°+∠C/4)sin40°=cos(40°+∠C/2)cos(∠C/4),[-cos(80°+∠C/4)+cos(∠C/4)]/2=cos(40°+∠C/2)cos(∠C/4),[-cos(80°+∠C/4)]/2=cos(∠C/4)[-1/2+cos(40°+∠C/2)]=cos(∠C/4)[cos120°+cos(40°+∠C/2)]=2cos(80°+∠C/4)cos(40°-∠C/4)],cos(80°+∠C/4)[1+2cos(40°-∠C/4)]=0,1+2cos(40°-∠C/4)≠0,取cos(80°+∠C/4)=0,80°+∠C/4=90°,∠C=40°,∠B=∠AED=60°,△AED为等边△,∠ADB=60°+50°=110°.