已知函数f(x)=x^2+alnx 若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.2.是要分情况讨论对吗,那“假设g(x)是增函数时,g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2 因为x∈[1,+∞),所以:x^2>0 则,令

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 08:51:14
已知函数f(x)=x^2+alnx若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.2.是要分情况讨论对吗,那“假设g(x)是增函数时,g''(x)=2x+(a/x)-(2/x

已知函数f(x)=x^2+alnx 若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.2.是要分情况讨论对吗,那“假设g(x)是增函数时,g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2 因为x∈[1,+∞),所以:x^2>0 则,令
已知函数f(x)=x^2+alnx 若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2.是要分情况讨论对吗,那“假设g(x)是增函数时,
g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2
因为x∈[1,+∞),所以:x^2>0
则,令h(x)=2x^3+ax-2 ”到这一步时怎么算?

已知函数f(x)=x^2+alnx 若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.2.是要分情况讨论对吗,那“假设g(x)是增函数时,g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2 因为x∈[1,+∞),所以:x^2>0 则,令
已知函数f(x)=x^2+alnx 若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范
解析:∵函数f(x)=x^2+alnx,其定义域为x>0
G(x)=f(x)+2/x= x^2+alnx+2/x
令G’(x)=2 x+a/x-2/x^2=0==>(2x^3+ax-2)/(x^2)=0
∵x^2>0
∴2x^3+ax-2=0==>a=(2-2x^3)/x
当a=0时,x=1
G’’(x)=2-a/x^2+4/x^3=(2x^3-ax+4)/x^3
∴G’’(1)>0
∴G(x)在x=1处取极小量值
∴g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数
当a>0时
(2-2x^3)/x>0==>0

事实上,g(x)只可能是增函数,你这样假设是正确的,后面的h(x)表达式也印证了这一点,所以假设一步可省去
h(x)=2x^3+ax-2在[1,+∞)恒大于等于0,或恒小于等于0,由图像只可能是恒大于等于0
然后分情况谈论,
h(1)》0是前提,即a》1,而a》1对称轴是x=-a/4为负不在[1,+∞),所以a》1即可怎么画h(x)的图像呢?a不是不知道的?开口向上。其它不...

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事实上,g(x)只可能是增函数,你这样假设是正确的,后面的h(x)表达式也印证了这一点,所以假设一步可省去
h(x)=2x^3+ax-2在[1,+∞)恒大于等于0,或恒小于等于0,由图像只可能是恒大于等于0
然后分情况谈论,
h(1)》0是前提,即a》1,而a》1对称轴是x=-a/4为负不在[1,+∞),所以a》1即可

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用分离变量的方法来做。
令h(x)=2x^3+ax-2,因为原函数单调,所以h(x)在[1,+∞)恒大于零或者恒小于零,即2x^3+ax-2恒大于零或恒小于零,即a大于2(1-x^3)/x的最大值或小于其最小值。不难发现在[1,+∞)上,2(1-x^3)/x是个单调递减的函数,当x=1时取到大值0,当x趋向于正无穷时2(1-x^3)/x趋向于负无穷,所以a大于0 。
不知道这样做是...

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用分离变量的方法来做。
令h(x)=2x^3+ax-2,因为原函数单调,所以h(x)在[1,+∞)恒大于零或者恒小于零,即2x^3+ax-2恒大于零或恒小于零,即a大于2(1-x^3)/x的最大值或小于其最小值。不难发现在[1,+∞)上,2(1-x^3)/x是个单调递减的函数,当x=1时取到大值0,当x趋向于正无穷时2(1-x^3)/x趋向于负无穷,所以a大于0 。
不知道这样做是否有漏洞,但是楼上两位的答案应该是错误的。当a=0时,显然满足h(x)在[1,+∞)上大于零,而两位的答案中并不包含a=0.

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g(x)=x²+alnx+2/x ====>>> g'(x)=2x+a/x-2/(x²)在[1,+∞)时与x轴无交点。
设h(x)=2x³+ax-2,则h(x)在区间[1,+∞)上与x轴无交点即可。
h'(x)=6x²+a
1、若a≥0,则h(x)在已知区间上递增,最小值是h(1)=6+a>0,与x轴肯定无交点,满足;
2、...

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g(x)=x²+alnx+2/x ====>>> g'(x)=2x+a/x-2/(x²)在[1,+∞)时与x轴无交点。
设h(x)=2x³+ax-2,则h(x)在区间[1,+∞)上与x轴无交点即可。
h'(x)=6x²+a
1、若a≥0,则h(x)在已知区间上递增,最小值是h(1)=6+a>0,与x轴肯定无交点,满足;
2、若a<0,则h(x)在(-∞,-√(-a/6))上递增,在(-√(-a/6),√(-a/6))上递减,在(√(-a/6),+∞)上递增。①若a≤-6,则只要h(√(-a/6))≥0即可;②若0讨论完毕后在将a的范围合并。

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至此当判断出原命题等价于h(x)恒大于零(不可能恒小于零),再在同一坐标系作出-2x"3+2的图象及ax的图像,后者在前者上方,即得a大于或等于负六…以上是较简单的方法,另外还可将a分三段讨论,那就不用说了!-2x^3+2的图像我知道,但是ax的图像是什么?怎么画出来的?a不知道啊...

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至此当判断出原命题等价于h(x)恒大于零(不可能恒小于零),再在同一坐标系作出-2x"3+2的图象及ax的图像,后者在前者上方,即得a大于或等于负六…以上是较简单的方法,另外还可将a分三段讨论,那就不用说了!

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:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当 a=-2e时,f′(x)=2x-2ex=2(x+e)(x-e)x.(2分)
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 极小值
由上表可知,函数 f(x)的单调递减区间是(0,e);
单调递增区间是 (e...

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:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当 a=-2e时,f′(x)=2x-2ex=2(x+e)(x-e)x.(2分)
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 极小值
由上表可知,函数 f(x)的单调递减区间是(0,e);
单调递增区间是 (e,+∞).
极小值是 f(e)=0.(6分)
(2)由 g(x)=x2+alnx+2x,得g′(x)=2x+ax-2x2.
又函数 g(x)=x2+alnx+2x为[1,3]上单调减函数,
则g'(x)≤0在[1,3]上恒成立,所以不等式 2x-2x2+ax≤0在[1,3]上恒成立.
即 a≤2x-2x2在[1,3]上恒成立.(10分)
又 ϕ(x)=2x-2x2在[1,3]为减函数,
所以 ϕ(x)的最小值为ϕ(3)=-523.
所以 a≤-523.(12分)

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