一道平面几何题（求三角形面积比）四边形ABCD内接于圆O,AC、BD交于点P,且AB:BC:CD:DA=1:9:9:8,求S△APB:S△BPC:S△CPD:S△DPA的值.（答案是8：81：648：64,要过程）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 02:45:38
一道平面几何题（求三角形面积比）四边形ABCD内接于圆O,AC、BD交于点P,且AB:BC:CD:DA=1:9:9:8,求S△APB:S△BPC:S△CPD:S△DPA的值.（答案是8：81：648：64,要过程）
一道平面几何题（求三角形面积比）
四边形ABCD内接于圆O,AC、BD交于点P,且AB:BC:CD:DA=1:9:9:8,
求S△APB:S△BPC:S△CPD:S△DPA的值.
（答案是8：81：648：64,要过程）
一道平面几何题（求三角形面积比）四边形ABCD内接于圆O,AC、BD交于点P,且AB:BC:CD:DA=1:9:9:8,求S△APB:S△BPC:S△CPD:S△DPA的值.（答案是8：81：648：64,要过程）
因为四边形ABCD内接于圆O,AC、BD交于点P,∠PAB=∠CDP,∠DCP=∠PBA
所以△CDP∽△BAP,所以S△APB:S△CPD=（AB：CD ）^2=1:81,
同理：△BPC∽△DPA,S△BPC:S△DPA=81：64,
这里要用到四边形一个性质：两条对角线把原四边形分成的四个三角形,相对的两个三角形面积之积相等（这个性质你可以推推,选择对角线为底边,同底等高）
设 S△APB=x,则S△CPD=81x,设S△DPA=64y,则S△BPC=81y
所以81x^2=64*81*y^2
所以x=8y,
S△APB:S△BPC:S△CPD:S△DPA=x:(81y):((81x):(64Y)=(8y):(81y):((81*8y):(64Y)=8:81:648:64
先由△APB相似与△CPD得
AP:PD=1:9
BP:PC=1:9
再由△BPC相似与△DPA得
AP:BP=8:9
PD:PC=8:9
所以S△APB:S△BPC=AP:PC=(AP:BP)(BP:PC)=8:81
S△APB:S△CPD=(1:9)^2=1:81
S△APB:S△DPA=BP:PD=(BP:PC)/(PD:PC)=1:8
所以
S△APB:S△BPC:S△CPD:S△DPA=8：81：648：64