在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 17:00:17
在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗
在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗
在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗
3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明如下;
假设3n+2=m^2
那么现在看有没有满足条件的m使得：m^2 - 2 = 3n
由于不知道m,n的具体条件,对于m分情况讨论：
(1)当m是3的倍数：即m = 3k (k任意整数)
此时m^2 - 2 = 9(k^2) - 2 = 3(3*k^2 -1) +1 也就是说,被3除余1；
(2)m被3除余1的情况：m=3k+1
此时m^2 - 2= 9*k^2 + 6k -1 = 3(3*k^2 + 2k ) -1 即被三除余2；
(3)m被3除余2的情况：m=3k+2
此时m^2 - 2 = 9*k^2 + 12k + 4 -2 = 9*k^2 + 12k + 2 = 3(3*k^2 +4k) +1 被3除余2
所以可以知道：不管m取什么样的整数,其平方数减2 即【m^2 - 2】都永远不可能被3除尽
也就是：【m^2 - 2 = 3n】不可能成立
也就是：3n+2=m^2不可能成立 所以形如3n+2的数不是完全平方数.
再来回答你提出的疑问;
一个自然数列,可以用N来表示,
也可以用2N,2N+1,来表示
也可以用3N,3N+1,3N+2来表示
也可以用4N,4N+1,4N+2,4N+2来表示
...
上面的表示法就概括了所有的自然数,而且表达不重复
例用4N,4N+1,4N+2,4N+2来表示,当N=0时,有0,1,2,3,当N=1时,有4,5,6,7,...
可以看出包含了所有的自然数,如果你能证明每一个分数列都不成立,则整个的自然数列也不成立
你的这一题的证明方法就是这样的
看能不能找到一个m来满足方程m^2 - 2 = 3n
m是一个自然数,如果能直接证明m^2 - 2 = 3n,m∈N当然更好,但不好证,所以把这个自然数列分成3份,{3k
3k+1
3k+2 k∈N
{3k}∪{3k+1}∪{3k+2 }={N}
只要能证明这三种情况都不能满足方程,则对于所有的N都不能满足,从而得证
至于分情况具体证明的问题,如果看不懂,