求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:45:52
求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
利用等差数列公式Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
即6º+6¹+6²+6³……+6^(n-1)=1×(1-6^n)/(1-6)=（6^n-1）/5,5º+5¹+5²+5³……+5^(n-1)=1×(1-5^n)/(1-5)=(5^n-1)/4
因为（1+6+6²+…+6^n-1)+(1+5+5²+…+5^n-1)为整数,
即（6^n-1）/5+(5^n-1)/4为整数,
乘以20后可得,4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,
展开得4x6^n+5^n-9是20的倍数,
因为4x6^n+5^n+1=（4x6^n+5^n-9）+10
所以4x6^n+5^n+1除以20的余数是10
10
不知道你的这个题目里面5的次数是n还是（n+1）(因为我见过一个题是5^(n+1)) 此时其余数是9
一种方法：
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数，
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数，
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数，
展开得4x6^n+5^(n+1)－9是20的倍数，
全部展开
不知道你的这个题目里面5的次数是n还是（n+1）(因为我见过一个题是5^(n+1)) 此时其余数是9
一种方法：
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数，
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数，
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数，
展开得4x6^n+5^(n+1)－9是20的倍数，
也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
得证。
补充说明：
这种类型的题，需要逆着推的思路。
要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9，
即证4x6^n+5^(n+1)－9是20的倍数，
发现4＋5＝9，
于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1)。（证明此式是20的倍数）
再发现4×5＝20，
于是提取20，
即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数。
观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式，
不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式。
问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数，
这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数。
如果5的次数是n的话 再加1则这个的余数应该是10
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^（n-1）)为整数，
求和得 (6^n-1)/5 +[5^（n-1）-1]/4为整数，
于是4×(6^n-1)+5×[(5^(n-1)-1)]是20的倍数，
展开得4x6^n+5^n－9是20的倍数，
也就是4x6^n+5^n再加1 被20除后余数为10
收起