数列题!证明!求救!设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2^（n+1）（n∈N*）（1）证明数列{an/2^n}是等差数列（2）求数列{Sn}的前n项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 13:22:59
数列题!证明!求救!设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2^（n+1）（n∈N*）（1）证明数列{an/2^n}是等差数列（2）求数列{Sn}的前n项和Tn
数列题!证明!求救!
设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2^（n+1）（n∈N*）
（1）证明数列{an/2^n}是等差数列
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn
数列题!证明!求救!设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2^（n+1）（n∈N*）（1）证明数列{an/2^n}是等差数列（2）求数列{Sn}的前n项和Tn
1、
a1=4
Sn=2an-2^(n+1)
S(n-1)=2a(n-1)-2^n
两式相减,得
左边=Sn-S(n-1)=an
右边=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^n
∴an=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^n
移项得：
an-2a(n-1)=2^(n+1)-2^n
两边同时除以2^n,得
(an/2^n)-[2a(n-1)/2^n]=2-1
(an/2^n)-[a(n-1)/2^(n-1)]=1
∴数列{an/2^n}是以a1/2=2为首项,1为公差的等差数列.
2、
an/2^n=2+(n-1)×1=n+1
an=(n+1)×2^n
Sn=2an-2^(n+1)
=2×(n+1)×2^n -2^(n+1)
=2^(n+1)×(n+1)-2^(n+1)
=n×2^(n+1)
前n项和
Tn= 1×2² + 2×2³ + 3×2^4 + …… + n×2^(n+1)
2Tn= 1×2³ + 2×2^4 + …… + (n-1)×2^(n+1) + n×2^(n+2)
相减,得
Tn=n×2^(n+2) - 1×2² - 1×2³ - 1×2^4 - …… - 1×2^(n+1)
=n×2^(n+2) - [2² + 2³ + 2^4 +……+2^(n+1)]
=n×2^(n+2) - 4×(1-2^n)/(1-2)
=n×2^(n+2) + 4 - 4×2^n
=(n-1)×2^(n+2) + 4
（1）Sn=2an-2^(n+1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^n，前式减后式得：an=2an-2a(n-1)-2^n，an-2a(n-1)=2^n，2[a(n-1)-2a(n-2)]=2*2^(n-1)=2^n,┄┄┄2^(n-2)[a2-2a1]=2^(n-2)*2²=2^n，以上n-1个等式两边相加得：an-a12^(n-1)=(n-1)2^n；Sn=2an-2^(n+1)，...
全部展开
（1）Sn=2an-2^(n+1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^n，前式减后式得：an=2an-2a(n-1)-2^n，an-2a(n-1)=2^n，2[a(n-1)-2a(n-2)]=2*2^(n-1)=2^n,┄┄┄2^(n-2)[a2-2a1]=2^(n-2)*2²=2^n，以上n-1个等式两边相加得：an-a12^(n-1)=(n-1)2^n；Sn=2an-2^(n+1)，s1=2a1-2²=a1，a1=2²，则an=(n+1)2^n，an/2^n=n+1，为首项2，公差d=1的等差数列；
（2）Sn2an-2^(n+1)，数列{Sn}的通项=2(n+1)2^n-2^(n+1)=n2^(n+1)，Tn=1*2²+2*2³+┄┄┄+n2^(n+1)┄┄┄①，2Tn=1*2³+2*2^4+┄┄┄+(n-1)2^(n+1)+n2^(n+2)┄┄┄②，①减②得：-Tn=2²+2³+┄┄┄+2^(n+1)-n2^(n+2)，Tn=n2^(n+2)-2²(2^n-1)=(n-1)2^(n+2)+4。
收起