设{An}是首项为1的正项数列,且（N+1)An+1^2-NAn^2+An+1An=0(N属于正整数）,则它的通向公式An=?过程怎么解?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 11:05:49
设{An}是首项为1的正项数列,且（N+1)An+1^2-NAn^2+An+1An=0(N属于正整数）,则它的通向公式An=?过程怎么解?
设{An}是首项为1的正项数列,且（N+1)An+1^2-NAn^2+An+1An=0(N属于正整数）,则它的通向公式An=?
过程怎么解?
设{An}是首项为1的正项数列,且（N+1)An+1^2-NAn^2+An+1An=0(N属于正整数）,则它的通向公式An=?过程怎么解?
A(n+1)表示第n+1项
(n+1)A(n+1)^2-nAn^2+A(n+1)An=0
n(A(n+1)+An)(A(n+1)-An)+A(n+1)(A(n+1)+An)=0
(A(n+1)+An)[nA(n+1)-nAn+A(n+1)]=0
(A(n+1)+An)[(n+1)A(n+1)-nAn]=0
因为{An}是首项为1的正项数列,因此A(n+1)+An大于0,
因此只有
(n+1)A(n+1)-nAn=0
即A(n+1)=An*n/(n+1)
A2=A1*1/2
A3=A2*2/3
A4=A3*3/4
.
An=A(n-1)*(n-1)/n
左边相乘等于右边相乘,于是得
A2A3A4.An=A1A2A3.A(n-1)1/2*2/3*3/4*.*(n-1)/n
=A1A2A3.A(n-1)1/n
所以An=A1*1/n 又A1=1
所以An=1/n
（N+1)An+1^2-NAn^2+An+1An = 0 ==因式分解 ==>
[(N+1)An+1 - NAn](An+1 + An) = 0 ==因为是正向数列==>
(N+1)An+1 - NAn = 0 ==> (N+1)An+1 = NAn
NAn = (N-1)An-1
……
2A2=A1
即：（N+1）An+1 = 1 ==>An = 1/n