已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0,1),(1,2)内,则a²+(b-4)²的取值范围为?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 17:09:58
已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0,1),(1,2)内,则a²+(b-4)²的取值范围为?已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0

已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0,1),(1,2)内,则a²+(b-4)²的取值范围为?
已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0,1),(1,2)内,则a²+(b-4)²的取值范围为?

已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0,1),(1,2)内,则a²+(b-4)²的取值范围为?
由题知,
已知方程f(x)=x²+ax+2b为二次函数,开口向上
f(x)=0的两个根分别在(0,1),(1,2)内
所以知道
约束条件为
f(0)=2b>0
f(1)=1+a+2b0
所以,要求a²+(b-4)²的取值范围
就转化为在区域(a为横坐标,b为纵坐标)
b>0
1+a+2b0
的线性规划问题~
a²+(b-4)²为区域中的点与点(0,4)距离的平方
在(-9/5,2/5)取最小值为81/5
在(-2,0)取最大值为20
而最大值最小值取不到
所以a²+(b-4)²∈(81/5,20)

抛物线f(x)=x2+ax+2b开口向上
两个根分别在(0,1),(1,2)内,所以,
f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即2b>0,(a+2b+1)<0,(2a+2b+4)>0
所以,在同一直角aOb坐标系里,画出直线
b=0,a+2b+1=0,a+b+2=0
记b=0和a+2b+1=0的交点为A,a+2b+1=0和a+b+2=0的交点为Q,

全部展开

抛物线f(x)=x2+ax+2b开口向上
两个根分别在(0,1),(1,2)内,所以,
f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即2b>0,(a+2b+1)<0,(2a+2b+4)>0
所以,在同一直角aOb坐标系里,画出直线
b=0,a+2b+1=0,a+b+2=0
记b=0和a+2b+1=0的交点为A,a+2b+1=0和a+b+2=0的交点为Q,
b=0和a+b+2=0的交点为B
那么,A(-1,0),Q(-3,1),B(-2,0)
我们知道,b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0,就是三角形AQB.
a2+(b-4)2其实就是点P(0,4)到三角形区域的距离的平方
根据图,我们知道,最小的距离是P垂直于AQ时的距离,这时候,最小距离d= 95;
最大距离是,PB=2 5,因为该三角形的边线不符合不等式条件!
所以,a2+(b-4)2的范围是( 815,20)
故答案为:( 815,20).

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