已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 17:08:56
已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0
已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0
已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0
∵f′(x)＝ex−
1
x+m
,x=0是f（x）的极值点,∴f′(0)＝1−
1
m
＝0,解得m=1．
所以函数f（x）=ex-ln（x+1）,其定义域为（-1,+∞）．
∵f′(x)＝ex−
1
x+1
＝
ex(x+1)−1
x+1
．
设g（x）=ex（x+1）-1,则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0,所以g（x）在（-1,+∞）上为增函数,
又∵g（0）=0,所以当x＞0时,g（x）＞0,即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时,g（x）＜0,f′（x）＜0．
所以f（x）在（-1,0）上为减函数；在（0,+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2,x∈（-m,+∞）时,ln（x+m）≤ln（x+2）,故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时,函数f′(x)＝ex−
1
x+2
在（-2,+∞）上为增函数,且f′（-1）＜0,f′（0）＞0．
故f′（x）=0在（-2,+∞）上有唯一实数根x0,且x0∈（-1,0）．
当x∈（-2,x0）时,f′（x）＜0,当x∈（x0,+∞）时,f′（x）＞0,
从而当x=x0时,f（x）取得最小值．
由f′（x0）=0,得ex0＝
1
x0+2
,ln（x0+2）=-x0．
故f（x）≥f(x0)＝
1
x0+2
+x0=
(x0+1)2
x0+2
＞0．
综上,当m≤2时,f（x）＞0．
f(x)=ex-ln(x+m)？
楼主确认是ex？！
解1：
f(x)=ex-ln(x+m)
因为：x=0是f(x)的极值点，
因此，有：
f'(0)=0，f''(0)≠0
f'(x)=e-1/(x+m)
f'(0)=e-1/m=0
解得：m=1/e
f''(x)=1/(x+m)²
f''...
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f(x)=ex-ln(x+m)？
楼主确认是ex？！
解1：
f(x)=ex-ln(x+m)
因为：x=0是f(x)的极值点，
因此，有：
f'(0)=0，f''(0)≠0
f'(x)=e-1/(x+m)
f'(0)=e-1/m=0
解得：m=1/e
f''(x)=1/(x+m)²
f''(0)=1/m²≠0
所以：m=1/e
讨论单调性：
1、令：f'(x)＞0，即：e-1/(x+1/e)＞0
e＞1/(x+1/e)
(1)当x＞1/e时：ex+1＞1
解得：x＞0
考虑所设，有x＞1/e
(2)当x＜1/e时：ex+1＜1
解得：x＜0
即：当x∈(∞，0)∪(1/e，∞)时，f(x)是单调增函数。
2、令：f'(x)＜0，即：e-1/(x+1/e)＜0
e＜1/(x+1/e)
(1)当x＞1/e时：ex+1＜1
解得：x＜0，与所设矛盾，舍去；
(2)当x＜1/e时：ex+1＞1
解得：x＞0
考虑所设，有：0＜x＜1/e
即：当x∈(0，1/e)时，f(x)是单调减函数。
第二问，就留给楼主做练习吧。
方法嘛，依然是求导，根据导数的正负，判定函数的增减性，然后求得m=2时的数值，即可得到f(x)>0
收起
f'(x)=e-1/(x+m),因为x=0是极值点，所以当x=0时，f'(x)=0.易解得m=1/e。
2、当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当-1/e
先问一句 ex中的x 是幂次吧