设函数y=f(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1(1)f(1)的值（2）如果f(x)+f(2-x)＜2,求x的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:16:00
设函数y=f(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1(1)f(1)的值（2）如果f(x)+f(2-x)＜2,求x的取值范围
设函数y=f(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
(1)f(1)的值
（2）如果f(x)+f(2-x)＜2,求x的取值范围
设函数y=f(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1(1)f(1)的值（2）如果f(x)+f(2-x)＜2,求x的取值范围
因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/3)=f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)
所以f(1)=0
因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为f(x)+f(2-x)＜2
所以f(x(2-x))<2
即f(2x-x^2)<2=f(1/9)
因为函数y=f(x)是定义在R+上的减函数
所以2x-x^2>1/9
即9x^2-18x+1>0
所以x>(3+2√2)/3或x<(3-2√2)/3
注意y=f(x)是定义在R+上的减函数,f(x)+f(2-x)＜2,所以x必须还满足x>0,x<2
综上知x的取值范围：0
满意回答是错的，最后几步存在问题，如下：
因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为f(x)+f(2-x)＜2
所以f(x(2-x))<2
即f(2x-x^2)<2=f(1/9)
因为函数y=f(x)是定义在R+上的减函数
...
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满意回答是错的，最后几步存在问题，如下：
因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为f(x)+f(2-x)＜2
所以f(x(2-x))<2
即f(2x-x^2)<2=f(1/9)
因为函数y=f(x)是定义在R+上的减函数
所以2x-x^2>1/9
此步错误！：即9x^2-18x+1>0 应为9x^2-18x+1<0
以下是正
按上述不等式解得(3-2√2)/3
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（1）由已知条件f(xy)=f(x)+f(y)
取x=y=1 带入上式得
f（1*1）=f（1）+f（1）求得f（1）=0
（2）由已知条件f(1/3)=1可得f（1/3*1/3）=f(1/3)+f(1/3)=2
求得f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)＜2可得f（2x-x2）
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（1）由已知条件f(xy)=f(x)+f(y)
取x=y=1 带入上式得
f（1*1）=f（1）+f（1）求得f（1）=0
（2）由已知条件f(1/3)=1可得f（1/3*1/3）=f(1/3)+f(1/3)=2
求得f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)＜2可得f（2x-x2）
可知1/9<2x-x2 且2x-x2>0
解不等式得：0
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