求推导一个数学数列公式n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1=n*(n+1)*(2*n+1)/6求推导过程...

求推导一个数学数列公式n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1=n*(n+1)*(2*n+1)/6求推导过程...
求推导一个数学数列公式
n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
求推导过程...

求推导一个数学数列公式n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1=n*(n+1)*(2*n+1)/6求推导过程...
首先a^b表示a的b次方
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
.
.
.
2^3-1^3=3*1^2+3*1=1
上面 这n个式子累加.
得到(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+.+n^2)+3(1+2+3+.+n)+n
要求的结果 可求
然后移项,可求出结果.
可以推广到仍以次方.
但是前提是比他低的次方的那些序列和都已经求出.
希望你能明白我的意思.自己想想.

利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
...

全部展开

利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
∴(n+1)³＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)
……
Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6

收起

由于n³－(n－1)³=3n²－3n＋1，则：
(n－1)³－(n－2)³=3(n－1)²－3(n－1)＋1
(n－2)³－(n－3)³=3(n－2)²－3(n－2)＋1
……
2³－1³ =3×2²－3×2＋1
1&...

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由于n³－(n－1)³=3n²－3n＋1，则：
(n－1)³－(n－2)³=3(n－1)²－3(n－1)＋1
(n－2)³－(n－3)³=3(n－2)²－3(n－2)＋1
……
2³－1³ =3×2²－3×2＋1
1³－0³ =3×1²－3×1＋1
将上述式子累加即得结论。

收起

即An=n^2
∴Sn=n^2+n^2-2n+1+n^2-4n+4+……+n^2-2n(n-1)+(n-1)^2
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

证明：
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^2=3(n-1)^2-3(n-1)+1
....
2^3-1^3=3*2^3-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
以上各式相加得：
n^3=3[n^+(n-1)^2+...+...

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证明：
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^2=3(n-1)^2-3(n-1)+1
....
2^3-1^3=3*2^3-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
以上各式相加得：
n^3=3[n^+(n-1)^2+...+1^2]-3[n+(n-1)+...+1]+n
=3[1^2+2^2+...+n^2]-3n(n+1)/2+n
3{1^2+2^2+...+n^2)=n^3+3n(n+1)/2-n=n(n+1)(2n+1)/2
故：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

收起

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
……
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
左右两边分别相加并化简3[n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1]=(n+1)^3-1^3-3[n+(n-1)+……+1]+n=n*(n+1)*(2*n+1)/2
所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1 所以（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 ....... 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 将以上各式相加，得（n+1）^3-1=3（n^2+(n-1)^2+.....+1^2)+3(n+(n-1)+.....+1)=3（n^2+(n-1)^2+.....+1^2)+3n(n+1)/2 所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
所以：
1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1
2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1
………………………………
n^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
...

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(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
所以：
1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1
2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1
………………………………
n^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
两边对应相加：
1^3 + 2^3 +……+(n+1)^3 =(0^3 + 1^3 +……+n^3)+3(0^2+1^2+……+n^2)+3(0+1+2+……+n)+n
消去立方：
(n+1)^3 = 3(1^2 +2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n
整理得：
n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1=n*(n+1)*(2*n+1)/6

收起

an=n^2=n(n-1)+n=(1/3)[(n-1)*n(n+1)-(n-2)*(n-1)*n]+n
a(n-1)=(n-1)^2=(1/3)[(n-2)(n-1)*n-(n-3)(n-2)(n-1)]+(n-1)
......
a2=(1/3)[1*2*3-0*1*2]+2
a1=1
叠加
n^2+(n-1)^2+...+1=(1/3)[(n-1)*n(n+1)-0]+n(n+1)/2
=(1/6)n(n+1)[2(n-1)+3)
=n(n+1)(2n+1)/6