数学自然数平方和公式怎么推导?自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6怎么推导?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:20:19
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数学自然数平方和公式怎么推导?
自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6
怎么推导?

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利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
∴(n+1)³=3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)
……
Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6

数学归纳法

利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
(...

全部展开

利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
∴(n+1)³=3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)
……
Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6

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