二阶递推数列问题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 12:52:04
二阶递推数列问题
二阶递推数列问题
二阶递推数列问题
整理,两边同时除以2^(n+1)
(sqrt2是根号2)
[a(n+2)/sqrt2^(n+2)]*[an/sqrt2^n]=[a(n+1)/sqrt2^(n+1)]^2+2
令bn=an/sqrt2^n
原式变为b(n+2)bn=b(n+1)^2+2
还可以得到n+1时的情形
b(n+3)b(n+1)=b(n+2)^2+2
两式相减消去2,整理
[b(n+1)+b(n+3)]/b(n+2)=[bn+b(n+2)]/b(n+1)
令[bn+b(n+2)]/b(n+1)=Cn 因此可以再次化简
得到
C(n+1)=Cn
Cn=C1=(b1+b3)/b2=
b1=b2=1,b3=2
所以Cn=4
所以b(n+2)+bn=4b(n+1)
设待定系数s,t
b(n+2)-sb(n+1)=t[b(n+1)-sbn]
比较系数
s+t=4
st=1
s,t为方程x^2-4x+1=0的根
s=2-sqrt3,t=2+sqrt3 或者
s=2+sqrt3,t=2-sqrt3
这样{b(n+1)-sbn}就是等比数列
先用第一组解
b(n+1)-(2-sqrt3)bn=[b2-(2-sqrt3)b1](2+sqrt3)^(n-1)
再用第二组解
b(n+1)-(2+sqrt3)bn=[b2-(2+sqrt3)b1](2-sqrt3)^(n-1)
两个式子消去b(n+1)
得到
bn=[(3-sqrt3)/6](sqrt)^(2+sqrt3)^(n-1)+[(3+sqrt3)/6](sqrt)^(2-sqrt3)^(n-1)
=an/sqrt2^n
所以an=sqrt2^n*{[(3-sqrt3)/6](sqrt)^(2+sqrt3)^(n-1)+[(3+sqrt3)/6](sqrt)^(2-sqrt3)^(n-1)}
汗……………………
这个题把二阶非线性到二阶线性递推全考了,压轴题都不会这么难吧?
我的思路是对的,可能计算有问题,请谅解!
先尝试几项，然后试着推出一个公式，用数学归纳法去证明你推出的公式就好了