求不定方程x+y+z=16的正整数解的个数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:32:03
求不定方程x+y+z=16的正整数解的个数
求不定方程x+y+z=16的正整数解的个数
求不定方程x+y+z=16的正整数解的个数
x=14,y=1,z=1------------1个
x=13,y=1,2--------------2个
x=12,y=1,2,3-----------3个
.
x=1,y=1,2,3,...14------14个
所以,本题解为:1+2+3+...+14=14*15/2=105
无数个
这个要用隔板法，相当于将16个相同的小球放在3个盒子中，保证每个盒子不空，则有N=C(15)2=105种
答案：105个。
x=1 y,z 1,14 2,13...14,1 --- 14
x=2 y,z 1,13....13,1 -----13
.......
x=14 y=z=1 ------1
14+13+...+1=(14+1)*14/2=105.
应该有14*14*14=2744那么多种吧````因为X,Y,Z都有14种不同取法
其实就是多项式
（x+x^2+x^3+...+x^15)^3
的展开式中x^16项的系数
（你可以思考下为什么）
这个多项式展开后
从高次（45次）到低次（0次）项的系数分别是
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 ...
全部展开
其实就是多项式
（x+x^2+x^3+...+x^15)^3
的展开式中x^16项的系数
（你可以思考下为什么）
这个多项式展开后
从高次（45次）到低次（0次）项的系数分别是
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 133 144 153 160 165 168 169 168 165 160 153 144 133 120 105 91 78 66 55 45 36 28 21 15 10 6 3 1 0 0 0
找到16次对应的系数105即为答案
用这个方法你可以做x+y+z=a（a为正整数）的正整数解的个个数
其实从上面那个系数表里，你已经可以找到所以比16小的a的答案，但比16大的a的答案不能从里面找
你同样可以思考下为什么哦~
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