在△ABC内求一点,使（向量AP）^2+（向量BP）^2+（向量CP）^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 18:31:53
在△ABC内求一点,使（向量AP）^2+（向量BP）^2+（向量CP）^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
在△ABC内求一点,使（向量AP）^2+（向量BP）^2+（向量CP）^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
在△ABC内求一点,使（向量AP）^2+（向量BP）^2+（向量CP）^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
点P是△ABC的重心.
［证明］
显然有：向量AP＝向量CP－向量CA、 向量BP＝向量CP－向量CB,
∴（向量AP）^2＋（向量BP）^2＋（向量CP）^2
＝（向量CP－向量CA）^2＋（向量CP－向量CB）^2＋（向量CP）^2
＝（向量CP）^2－2向量CP·向量CA＋（向量CA）^2
＋（向量CP）^2－2向量CP·向量CB＋（向量CB）^2＋（向量CP）^2
＝3（向量CP）^2－2向量CP·（向量CA＋向量CB）＋（向量CA）^2＋（向量CB）^2
＝3［（向量CP）^2－（2/3）向量CP·（向量CA＋向量CB）＋（1/9）（向量CA＋向量CB）^2］
－（1/3）（向量CA＋向量CB）^2＋（向量CA）^2＋（向量CB）^2
＝3［向量CP－（1/3）（向量CA＋向量CB）］^2
－（1/3）（向量CA＋向量CB）^2＋（向量CA）^2＋（向量CB）^2.
∵向量CA、向量CB 都是确定的,
∴当向量CP＝（1/3）（向量CA＋向量CB）时,
（向量AP）^2＋（向量BP）^2＋（向量CP）^2 有最小值.
以CA、CB为邻边作平行四边形ACBD,令AB与CD相交于E.
则：CD＝2CE、 AE＝BE、 向量CD＝向量CA＋向量CB.
∴当向量CP＝（1/3）（向量CA＋向量CB）时,有：向量CP＝（1/3）向量CD,
∴向量CP、向量CD共线,
∴C、P、D共线,且CP＝（1/3）CD＝（2/3）CE,而AE＝BE,∴P是△ABC的重心.
注：网上有利用解析法给出的答案,请阅读以下的链接.