已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 22:31:01
已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
a^x-a^(-x)很容易证明是奇函数
奇函数在(-无穷大,0)与(0,+无穷大)上的单调性相同,所以只需讨论x>0时的情况
设x1>x2
分为3类讨论
1.0
求导 导数>0增 导数<0减
f(x)导数=a*[a^x*lna+a^(-x)lna]/(a^2-2)>0
[a*lna(a^2x+1)/a^x]/a^2-2>0
所以[a*lna(a^2x+1)/a^x]>0且a^2-2>0@1或者 [a*lna(a^2x+1)/a^x]<0且a^2-2<0@2 a^2x+1>0 a^x>0 a>0
解@1 @2得
...
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求导 导数>0增 导数<0减
f(x)导数=a*[a^x*lna+a^(-x)lna]/(a^2-2)>0
[a*lna(a^2x+1)/a^x]/a^2-2>0
所以[a*lna(a^2x+1)/a^x]>0且a^2-2>0@1或者 [a*lna(a^2x+1)/a^x]<0且a^2-2<0@2 a^2x+1>0 a^x>0 a>0
解@1 @2得
a>e且a>根号2 或 a
答案a>e或者0
看来根号2大
答案是
a>根号2或者0
a>根号2或者0
a>根号2或者0
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a^2-2>0时，a>√2，a^x是增函数，a^(-x)是减函数
所以a^x-a^(-x)是增函数，且a/(a^2-2)>0，所以f(x)是增函数
1
0
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a^2-2>0时，a>√2，a^x是增函数，a^(-x)是减函数
所以a^x-a^(-x)是增函数，且a/(a^2-2)>0，所以f(x)是增函数
1
0
综上所书，a在a>√2,0
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按定义来:
取x1>x2是在范围R上的值
f(x1)-f(x2)=a*[a^x1-a^(-x1)]/(a^2-2)-a*[a^x2-a^(-x2)]/(a^2-2)
=[a/(a^2-2)]*[a^x1-a^(-x1)-a^x2+a^(-x2)]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)-(a^(-x1)-a^(-x2))]
=[a/(a^2-2)...
全部展开
按定义来:
取x1>x2是在范围R上的值
f(x1)-f(x2)=a*[a^x1-a^(-x1)]/(a^2-2)-a*[a^x2-a^(-x2)]/(a^2-2)
=[a/(a^2-2)]*[a^x1-a^(-x1)-a^x2+a^(-x2)]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)-(a^(-x1)-a^(-x2))]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)-(a^x2-a^x1)/a^(x1+x2)]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)(1+a^(-x1-x2))]
因为f(x)是增函数,所以也就是有[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)(1+a^(-x1-x2))]这个式子是大于0的
又因为a>0,所以a*(1+a^(-x1-x2))>0是恒成立的
所以只要判断(a^x1-a^x2)/(a^2-2)>0
也就是a^x1>a^x2而且a^2>2;或者a^x1
a^2>2,那么a>根号2或者a<-根号2(舍去负值)
所以这种情况下,a>根号2
第2种情况:a^x1
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