已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.1.当P在BC上,此时h3=0,证明：h1+h2+h3+=h2.当P△ABC内时,上述结论还成立吗?试证明你的结论3.当P△ABC外时,猜想并
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 08:26:02
已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.1.当P在BC上,此时h3=0,证明：h1+h2+h3+=h2.当P△ABC内时,上述结论还成立吗?试证明你的结论3.当P△ABC外时,猜想并
已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.
1.当P在BC上,此时h3=0,证明：h1+h2+h3+=h
2.当P△ABC内时,上述结论还成立吗?试证明你的结论
3.当P△ABC外时,猜想并直接写出它们之间的结论,无需证明
已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.1.当P在BC上,此时h3=0,证明：h1+h2+h3+=h2.当P△ABC内时,上述结论还成立吗?试证明你的结论3.当P△ABC外时,猜想并
(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;
而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.
(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)
（1）连接PA，PB，PC，
则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h1+h2+h3；
（2）仍有h=h1+h2+h3；<...
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（1）连接PA，PB，PC，
则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h1+h2+h3；
（2）仍有h=h1+h2+h3；
理由：如图：设P在AC上，则h2=0，
连接PB，
则S△ABC=S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
AB=BC=AC，
∴h=h1+h3；
即h=h1+h2+h3；
（3）h＜h1+h2+h3．
连接PA，PB，PC，
则S△ABC＜S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h＜
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h＜h1+h2+h3．
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