定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f（ξi）*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:57:43
定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f（ξi）*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,
定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?
在下面这个图中,当△x趋于零时,f（ξi）*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,哪位学长解答一下哦!多谢了!
定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f（ξi）*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,
我给你详细解答下吧.
首先,你没有注意到什么情况下△x趋于零?△x趋于零的一个必要条件是n趋于无穷大了,那么你想,无穷多个0加在一起还是0吗?
事实上这个式子就可以表示为0*无穷,这是不定式,非零极限是可能存在的；当然也有可能不存在,就叫做不可积.
其次,再来说你的判断（当△x趋于零时,f（ξi）*△xi的值就为“0“了）.这里ξi,也就是每个小区间的数值的取法是可以和n以及如何划分△xi有关的（定积分定义里是说无关,但是那是定积分极限存在的情况,我们这里是讨论一般意义下和式极限是否存在的问题,没有假设f必须是可积的）,当△xi趋近于零时,谁知道f（ξi）会怎么变呢?如果我告诉你f(x)具有这样的性质,在每个小区间△xi上,总是存在一个点ci,函数在这点的值
f(ci) = 1/△xi
（当然这个函数不是连续的）那么每次计算极限的时候,我总是取点ξi = ci,这样一来,
当△x趋于零时,f（ξi）*△xi的值就为1了,这个时候和式本身=n,极限是不存在的,这样的函数不可积.
由此可见,一个函数存在定积分其实是一个很强的条件：首先,必须保证任何的划分方法,以及任何的取ξi点方式下,极限都存在,有了这点还不够.其次,还必须保证所有这些极限都相等.有这两个条件,才能说那个唯一的极限叫做函数的定积分.有些不连续的函数虽然能够保证总是有极限,但是极限和划分方法或者取点方法有关,所以还是不可积.
我本科就是学数学的,你们教科书上的定义其实不准确,光是和式极限存在是不够的,还必须保证极限是唯一的,这才叫定积分.
误名
给看两个图，就明白了