高数向量中,怎么证明混合积的性质,即怎么证明(a×b)·c=(a×c)·b=(b×c)·a?望热心人解答,)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 13:50:52
高数向量中,怎么证明混合积的性质,即怎么证明(a×b)·c=(a×c)·b=(b×c)·a?望热心人解答,)
高数向量中,怎么证明混合积的性质,即怎么证明(a×b)·c=(a×c)·b=(b×c)·a?望热心人解答,)
高数向量中,怎么证明混合积的性质,即怎么证明(a×b)·c=(a×c)·b=(b×c)·a?望热心人解答,)
混合积(a×b)·c 最后表达式就是一个行列式：
(a×b)·c = a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
所以,(b×c)·a = b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 a2 a3
(c×a)·b = c1 c2 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
按照行列式的性质,互换两行,行列式的值改变符号.(b×c)·a可以通过(a×b)·c的行列式互换第一、二行,在互换第二、三行得到.互换两次,(-1)^2,和原来一样.(c×a)·b同样的.
所以,(a×b)·c=(b×c)·a=(c×a)·b.
你的题目写错了,如果是(a×c)·b,应该是(a×b)·c = - (a×c)·b
你换成行列式形式就很清楚了 ---------------这是最直接最直观的证法
点积、混合积都是数字
只有叉积是向量----------(a×b) 是向量；
(a×b)·c 是向量和向量的点乘，结果是一个数字；
所以混合积实际上就是一个数字------行列式不也是一个数字吗？
证明的过程中，行列式交换两行，出现一个“负号”----混合积交换两个的次序也...
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你换成行列式形式就很清楚了 ---------------这是最直接最直观的证法
点积、混合积都是数字
只有叉积是向量----------(a×b) 是向量；
(a×b)·c 是向量和向量的点乘，结果是一个数字；
所以混合积实际上就是一个数字------行列式不也是一个数字吗？
证明的过程中，行列式交换两行，出现一个“负号”----混合积交换两个的次序也会出现“负号”
-------就好比 (a×b) = - (b×a) 一样
------但行列式的数值大小不变---------混合积的证明思路
收起
(a×b)·c=︱a︱︱b︱cos
(a×c)·b=︱a︱︱c︱cos
(b×c)·a=︱b︱︱c︱cos
在上面三个式子中，若令λ1=︱a︱︱b︱cos
λ2=︱a︱︱c︱cos
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(a×b)·c=︱a︱︱b︱cos
(a×c)·b=︱a︱︱c︱cos
(b×c)·a=︱b︱︱c︱cos
在上面三个式子中，若令λ1=︱a︱︱b︱cos
λ2=︱a︱︱c︱cos
λ3=︱b︱︱c︱cos
显然，λ1、λ2、λ3必定是是三个数（数量积的意义嘛，两个向量之积为一个数）；
而c、b、a是三个向量。若（1）、（2）、（3）三个式子相等，
即为λ1·c =λ2·b=λ3 ·a
根据共线向量的定理，则得向量a, b, c必定是共线向量；
若a, b, c共线，显然，当且仅当a, b, c三者，同向（所成角为0），且模相等，
即a=b=c
才可能有(a×b)·c=(a×c)·b=(b×c)·a
否则，这个式子，是不可能成立的；
提醒，在向量的乘法中，是没有交换律的！！
严格按照向量数量积公式进行计算，即如解答开始的三个式子的演算！！
望能帮助你释疑！！
收起
先正交分解,然后进行运算 比如以c方向为x轴建立O－xyz坐标系，x方向的单位向量记作i，y方向的单位向量记作j，z方向的单位向量记作k，则 见图片http://hiphotos.baidu.com/ggggwhw/pic/item/4ba1302c96b3f269359bf794.jpg 上面的图片中计算了两个，另一个你可以用同样的办法证明。