正方形内接圆形扇形组合阴影面积：已知正方形面积为20平方米,求阴影面积此为小学竞赛题,请尽量用小学知识回答（注：听说这道题还可以用微积分来求,如果您会的话,请不吝赐教!）

正方形内接圆形扇形组合阴影面积：已知正方形面积为20平方米,求阴影面积此为小学竞赛题,请尽量用小学知识回答（注：听说这道题还可以用微积分来求,如果您会的话,请不吝赐教!）
正方形内接圆形扇形组合阴影面积：已知正方形面积为20平方米,求阴影面积
此为小学竞赛题,请尽量用小学知识回答（注：听说这道题还可以用微积分来求,如果您会的话,请不吝赐教!）
 

正方形内接圆形扇形组合阴影面积：已知正方形面积为20平方米,求阴影面积此为小学竞赛题,请尽量用小学知识回答（注：听说这道题还可以用微积分来求,如果您会的话,请不吝赐教!）

基本思路：
连接AE, AF, AO, OE, OF.  由 S扇形OEF+S△AOE+S△AOF-S扇形AEF   得阴影部分Y的面积.
     
       
 
        由题目已知条件,正方形面积为20平方米.
        易得：AE=AB=2√5,  OE=1/2AB=√5, AO=√2OE=√10
 
根据海伦公式： S=√[p*（p-a)(p-b)(p-c)]   
                           (其中  S为△的面积,a,b,c为三角形的三条边,p=(a+b+c)/2,）
所以在△AOE中,p=（2√5+√5+√10）/2=(3√5+√10）/2
         S△AOE=5√7/4
同理 S△AOF= S△AOE=5√7/4
 
根据 余弦定理 cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
得 ： cos(∠AOE）=（AO^2+ OE^2 - AE^2)/(2AO*OE)
                             =(10+5-20)/(2*√10*√5)
                            = -√2/4
因为cos(∠EOF)=cos(∠EOA+∠FOA)
                         =cos(2∠EOA)
                         =2cos^2(∠EOA) -1      【倍角函数】
                        =2*（-√2/4）^2 - 1
                        =-3/4
所以 ∠EOF=arccos(-3/4)
所以根据扇形面积公式：S=(n/360)*πr^2
                  S扇形OEF=[arccos(-3/4) / 360]*π*OE^2
                                  =6.04     (π取3.14）
  同理得 S扇形AEF=[arccos(9/16) / 360]*π*AE^2
                             =9.72896      (π取3.14）
 
所以 S阴影部分Y= S△AOF+S△AOE+S扇形OEF-S扇形AEF
                          =5√7/4 + 5√7/4 + 6.04 -  9.72896 
                           ≈ 2.9254（平方米）
 
答：阴影部分面积约等于  2.9254平方米.
 
 
 
 

以前的有答案。

不知道能否用初等几何的办法，我提供下列方法
假设正方形边长为R，左下角为X-O-Y的原点
则大圆（1/4圆）方程为x^2 + y^2 = R^2
小圆方程为(x-R/2)^2 + (y-R/2)^2 = R^2 / 4
由此得二圆交点为x = (5-sqrt(7))R/8,y = sqrt(32+10sqrt(7))R/8(左上角的，由对称性，只要这个就可以了）

全部展开

不知道能否用初等几何的办法，我提供下列方法
假设正方形边长为R，左下角为X-O-Y的原点
则大圆（1/4圆）方程为x^2 + y^2 = R^2
小圆方程为(x-R/2)^2 + (y-R/2)^2 = R^2 / 4
由此得二圆交点为x = (5-sqrt(7))R/8,y = sqrt(32+10sqrt(7))R/8(左上角的，由对称性，只要这个就可以了）
由正方形左下到右上作对角线（左下角为O），O1（R/2，R/2）为小圆圆心，A为上面求出的交点，B为对角线与大圆的交点，B（sqrt(2)R/2,sqrt(2)R/2),B1为对角线与小圆的交点
B1（(2+sqrt(2))R/4,(2+sqrt(2))R/4)
由此计算阴影内圆（大圆)对应的圆弧角度为
A1=pi/2 - 2arctan(x/y) = 0.97339
阴影外圆（小圆)对应的圆弧角度为
A2=pi/2 + 2arctan((1/2-x)/(y-1/2)) = 2.41886
这样我们可以计算阴影面积=小圆弓形面积-大圆弓形面积
=-A1*R^2 / 2 + 1/2 R^2 sinA1 + A2*(R/2)^2 / 2 - 1/2 (R/2)^2 sinA2
由此得到阴影面积是正方形面积的0.14638（也许有个无理数精确表达）
所以本题阴影面积为2.93

收起