1,在三角形ABC中,设cosB/3b=cosC/2c=cosA/a,求cosA的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 04:59:05
1,在三角形ABC中,设cosB/3b=cosC/2c=cosA/a,求cosA的值.
1,在三角形ABC中,设cosB/3b=cosC/2c=cosA/a,求cosA的值.
1,在三角形ABC中,设cosB/3b=cosC/2c=cosA/a,求cosA的值.
方法一:
由正弦定理:sinB/b=sinC/c=sinA/a
与原式相除得到:3tanB=2tanC=tanA
设tanA=6x,则tanB=2x,tanC=3x
tanA=tan(180-B-C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
所以6x=-5x/(1-6x^2)
解得x=±√11/6
又tanA,tanB,tanC同号,故不可能同取负号,所以tanA=6*√11/6=√11
从而cosA=1/√(1+(tanA)^2)=√3/6
方法二:由余弦定理有:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,
cosC=(b^2+a^2-c^2)/2ab,
将cosA,cosB,cosC代入原式化简得到:
b^2+c^2-a^2=(-b^2+c^2+a^2)/3=(a^2+b^2-c^2)/2
令上式等于k
则可解得a^2=5k/2,b^2=3k/2,c^2=2k
所以cosA=(3k/2+2k-5k/2)/2√(2k*3k/2)=√3/6
cosB/3b=cosC/2c=cosA/a---(1)
由三角形正弦定理得:
sinB/b=sinC/c=sinA/a ----(2)
(2)/(1)得:
3tanB=2tanC=tanA ----(3)
tanC=tan(180度-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=(tanA+tanB)/(tanA*ta...
全部展开
cosB/3b=cosC/2c=cosA/a---(1)
由三角形正弦定理得:
sinB/b=sinC/c=sinA/a ----(2)
(2)/(1)得:
3tanB=2tanC=tanA ----(3)
tanC=tan(180度-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=(tanA+tanB)/(tanA*tanB-1) ----(4)
由(3)得:
tanA/2=(tanA+tanA/3)/(tanA*tanA/3-1)
解得:tanA=根号下(11)
sinA/cosA=tanA=根号下(11) -----(5)
(sinA)^2+(cosA)^2=1 -----(6)
由(5),(6)解得:
cosA=(正负)根号下(1/12)=(正负)(1/6)根号下(3)
如果cosA为负,由(1)得:cosB,cosC都为负数,不符合三角形内角条件.
所以:cosA=(1/6)根号下(3)
收起
设cosB/3b=cosC/2c=cosA/a=k
所以：cosB=3bk;cosC=2ck;cosA=ak
而又有(cosB)平方+(cosC)平方+(cosA)平方=1
所以：(9b平方+4c平方+a平方)*k平方=1
k=1/(9b平方+4c平方+a平方)开方
所以： cosA=ak=a/(9b平方+4c平方+a平方)开方