为什么被三整除的数一定要各位和是3的倍数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 18:03:23
为什么被三整除的数一定要各位和是3的倍数
为什么被三整除的数一定要各位和是3的倍数
为什么被三整除的数一定要各位和是3的倍数
原因是这样：
对于一个整数,比如 x=(abcde),每一个字母是一位,那么
x=10^4*a+10^3*b+10^2*c+10*d+e;
=(9999+1)*a+(999+1)*b+(99+1)*c+(9+1)*d+e
=(9999*a+999*b+99*c+9*d)+(a+b+c+d+e)
=A+B;
这样,如果x是3的倍数,那么A+B就是x,是3的倍数,而A显然是3的倍数,那么B,就是各位数的和也就必然是3的倍数了,
上面是通俗的解释,如果是要严格证明,可以用同余（Mod）的知识,很简单的
因为3是质数
这不是定理
是公理...
不妨设这个数是三位数
100a+10b+c(其中a+b+c可以被3整除)
因为100a+10b+c=99a+9b+a+b+c
=3(33a+3b)+(a+b+c)
因为3(33a+3b)可以被3整除，（a+b+c)也可以被3整除
所以3(33a+3b)+(a+b+c)可以被3整除
所以100a+10b+c可以倍3整除
= =这个...通俗点证明给你吧:
假设现在有某个数xymn(代表x千y百m十n)...则这个数=x*1000+y*100+m*10+n
所以那这个数除以3的话,就等于(x*1000/3)+(y*100/3)+(m*10/3)+n/3
因为9,99,999....能被3整除...所以很容易发现..上式括号内每项的余数即为该位上的数..例如(x*1000/3)余x
所...
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= =这个...通俗点证明给你吧:
假设现在有某个数xymn(代表x千y百m十n)...则这个数=x*1000+y*100+m*10+n
所以那这个数除以3的话,就等于(x*1000/3)+(y*100/3)+(m*10/3)+n/3
因为9,99,999....能被3整除...所以很容易发现..上式括号内每项的余数即为该位上的数..例如(x*1000/3)余x
所以..要使xymn能被3整除,就要这些余数的和能被3整除.所以能被三整除的数一定要各位和是3的倍数
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反证法
假设三位数x=100a+10b+c能被3整除，即100a+10b+c=3k ①，但是a+b+c不能被3整除。令t=a+b+c
那么会有两种情况，t/3余数为1，或者2。
1 当余数为1，则a+b+c=3m+1 ② ①-②得 99a+9b=3（k-m）-1，此式子左边是3的倍数，而右边不是，所以不可能。
2 当余数为2，a+b+c=3n+2 ③ ①-...
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反证法
假设三位数x=100a+10b+c能被3整除，即100a+10b+c=3k ①，但是a+b+c不能被3整除。令t=a+b+c
那么会有两种情况，t/3余数为1，或者2。
1 当余数为1，则a+b+c=3m+1 ② ①-②得 99a+9b=3（k-m）-1，此式子左边是3的倍数，而右边不是，所以不可能。
2 当余数为2，a+b+c=3n+2 ③ ①-③得 99a+9b=3（k-n）-2，此式子左边是3的倍数，而右边不是，所以不可能。
所以假设不成立，所以a+b+c必须被3整除，100a+10b+c才能被3整除。
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这个是定理嘛
你先记住好了,
正面要用数论的知识,很麻烦的,
如果你若是感兴趣,可以看看陈景润的<初等数论>