等腰三角形ABC中,延长CA至D,延长AB至E,连接DE,恰有AE=DE=CD=BC,求证角BAC=100度.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/08 15:03:27
等腰三角形ABC中,延长CA至D,延长AB至E,连接DE,恰有AE=DE=CD=BC,求证角BAC=100度.
等腰三角形ABC中,延长CA至D,延长AB至E,连接DE,恰有AE=DE=CD=BC,求证角BAC=100度.
等腰三角形ABC中,延长CA至D,延长AB至E,连接DE,恰有AE=DE=CD=BC,求证角BAC=100度.
连接CE,找到A关于直线CE的对称点F,连接AF,EF,DF,那么EA=EF,
设角ABC=a,可以算出角EDC=2a,角DEA=180-4a(本文中180、90都是指180度、90度),角CEF=角AEC=2a-90,这样角DEF=2a=角CDE,又CD=DE=FE,
所以三角形DCE和三角形EDF全等,那么DF=CE,而且角EDF=角CED=90-a,所以角FDA=角CDE-角EDF=3a-90=角CEB,
现在DF=EC,AD=CD-AC=AE-AB=BE,角ADF=角BEC,所以三角形ADF与三角形BEC全等,所以AF=CD=DE=AE,由已知EA=EF,所以三角形AEF是正三角形,所以
6a-180=角AEF=60,a=40,所以角BAC=100度
应该是钝角
本题用解三角方程的办法很简单。
为了式子简单,设AB=AC=1,∠ABC=∠ACB=α
则依据等腰三角形底边与腰的关系可得:
BC=2AC*cosa=2cosα
AD=CD-CA=BC-CA=2cosα-1
又EAD=2α
在等腰三角形EDA中,可得DA=2*EA*cos2α=2*BC*cos2α=4cosαcos2α
故解方程:2cosα-...
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本题用解三角方程的办法很简单。
为了式子简单,设AB=AC=1,∠ABC=∠ACB=α
则依据等腰三角形底边与腰的关系可得:
BC=2AC*cosa=2cosα
AD=CD-CA=BC-CA=2cosα-1
又EAD=2α
在等腰三角形EDA中,可得DA=2*EA*cos2α=2*BC*cos2α=4cosαcos2α
故解方程:2cosα-1=4cosαcos2α
将方程右边积化和差,得:4cosαcos2α=2cosα+2cos3α
代人方程,得:cos3α=-1/2
3α=120°
α=40°
角BAC=180-40*2=100°。
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