在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求角BAC的度数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 03:23:37
在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求角BAC的度数.
在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求角BAC的度数.
在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求角BAC的度数.
分别以C,D,E为圆心,BC为半径作圆,
圆E,圆C交于F,圆C与DE交于H,
DA的延长线与圆C交于G,
分别连接EF,EG,FG,CF,CH,CH与EF交于I,
在圆C中,∠EGF是由半径长的弦所对的圆周角,
∴∠EGF = 30°
在圆E中,∠CGF也是由半径长的弦所对的圆周角,
∴∠CGF = 30°
∴∠EGC = ∠EGF + ∠CGF = 60°
∵CE = CG
∴△CEG是正三角形,G是圆C,圆E的交点,
∵三角形CEF也是正三角形,
∴∠FEG = ∠FEC + ∠CEG = 120°,
连接BF,DF,
则∠FBG = ∠FEG = 120°,
∠FBD = 180°-∠FBG = 60°,
在圆E中,∠GDF = ∠GEF/2 = 60°,
∴△FBD是正三角形,
连接FH,
∵FE所对圆周角是30°
∴∠FHD = 30°,
∴H在以B为圆心,BD为半径的圆周上,
∴BF = BH
∴在圆C中∠DEF = 2∠BFH
在等腰△CED中,
DA = CH
由对称性知：DH = CA,
作△ABC的外接圆O,
与EF交于I',
∵在四边形ABFC中,
∠ABF + ∠FCA = 120°+60°=180°
∴ABFC四点共圆,
∴F在圆O上
由于正△CEF的边EF是圆O的弦,
由对称性知:FI'= CA = DH
连接HI',在△FED中,FI' = DH
∴HI'‖DF,则四边形DHI'F是等腰梯形,
其中D,F,H三点都在圆B上,
所以,I'必在圆B上,
所以I'是圆B与原O的交点,
所以,在圆O中有 BF = BI',
∴∠FCB = ∠BCI'
但在圆C中有 BF = BH
∴∠FCB = ∠BCH
∴∠BCH = ∠BCI'
又因I和I'都在EF上,所以必有I和I'重合,
所以I是圆B与原O 的交点,
在圆E和圆C中,DF = BH
∴△DEF≌△BCH
∴∠DEF = ∠BCH
但在圆O中,∠BCI = ∠BCH = ∠BFI = ∠BFE
所以∠DEF = ∠BFE = 2∠BFH
所以,在圆C中:
∠HFE = ∠BFE - ∠BFH = 2∠BFH - ∠BFH = BFH
所以,在圆C中有：FB = BH = HE
所以,∠BGE = ∠BCE/2 = （60°*2/3）/2 = 20°
所以∠BAC = ∠EAG = 180°- 60°-20° = 100°